10. В треугольнике АВС отмечены середины М и № сторон ВС и АС соответственно. Площадь треуголь-ника CNM равна 12. Найдите площадь четырехугольника ABMN.

Дано:

â–³ABC, M - середина BC, N - середина AC.

Площадь â–³CNM = 12.

Найти: Площадь четырехугольника ABMN.

Решение:

â–³CNM подобен â–³CBA по двум сторонам и углу между ними (CM/CB = CN/CA = 1/2, ∠C - общий). Коэффициент подобия k = 1/2.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

     \( \frac{S_{CNM}}{S_{CBA}} = k^2 \)

     \( \frac{12}{S_{CBA}} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \)

     \( S_{CBA} = 12 * 4 = 48 \)

Площадь четырехугольника ABMN равна разности площади â–³ABC и площади â–³CNM:

     \( S_{ABMN} = S_{CBA} - S_{CNM} \)

     \( S_{ABMN} = 48 - 12 = 36 \)

Ответ: 36