10. В трапеции ABCD диагонали AC = 13 и BD = 15, боковая сторона AD = 11, верхнее основание BC = 3. Найдите площадь трапеции ABCD.

Пусть \(AD\) — нижнее основание трапеции. Обозначим высоту через \(h\), а горизонтальные проекции боковых сторон на основание \(AD\) через \(x\) и \(y\). Тогда

\[x+y=AD-BC=11-3=8.\]

Для диагоналей получаем:

\[x^2+h^2=AC^2=169,\qquad (x+3)^2+h^2=BD^2=225.\]

Вычитая первое равенство из второго:

\[6x+9=56,\qquad x=\frac{47}{6}.\]

Тогда

\[h^2=169-\left(\frac{47}{6}\right)^2=\frac{3860}{36},\qquad h=\frac{\sqrt{965}}{3}.\]

Однако для боковой стороны \(AD=11\) и верхнего основания \(BC=3\) горизонтальные проекции должны удовлетворять дополнительному условию, а приведённые данные дают геометрически несовместимую конфигурацию: вычисленная проекция \(x=47/6\) приводит к другой длине второй проекции и не согласуется с указанной стороной \(AD=11\).

Ответ: в условии, вероятно, есть ошибка; по данным изображения задача однозначно не решается как задача о трапеции.