10. В параллелограмме ABCD сторона AB равна 2√2, сторона AD равна 2√5. Точка К - середина стороны ВС, отрезок DK перпендикулярен диагонали АС. Найдите диагональ BD.

Задание 10. Поиск диагонали параллелограмма

Дано:

• Параллелограмм ABCD.
• \( AB = 2\sqrt{2} \).
• \( AD = 2\sqrt{5} \).
• K - середина BC.
• DK \( \perp \) AC.

Найти: диагональ BD.

Решение:

1. Обозначим \( AB = a = 2\sqrt{2} \) и \( AD = b = 2\sqrt{5} \).
2. В параллелограмме \( BC = AD = b \) и \( CD = AB = a \).
3. Так как K - середина BC, то \( BK = KC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} b = \frac{1}{2} (2\sqrt{5}) = \sqrt{5} \).
4. Пусть \( \vec{A} \) - начало координат. Тогда \( \vec{AB} \) и \( \vec{AD} \) - векторы сторон.
5. \( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b} \).
6. \( \vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} \).
7. \( \vec{DK} = \vec{AK} - \vec{AD} = (\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}) - \vec{b} = \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} \).
8. По условию \( DK \perp AC \), значит, их скалярное произведение равно нулю:
9. \[ \vec{DK} · \vec{AC} = 0 \]
10. \[ (\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}) · (\vec{a} + \vec{b}) = 0 \]
11. Раскроем скобки:
12. \[ \vec{a} · \vec{a} + \vec{a} · \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{b} · \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} · \vec{b} = 0 \]
13. \[ |\vec{a}|^2 + \frac{1}{2} \vec{a} · \vec{b} - \frac{1}{2} |\vec{b}|^2 = 0 \]
14. \[ a^2 + \frac{1}{2} \vec{a} · \vec{b} - \frac{1}{2} b^2 = 0 \]
15. Подставим значения \( a^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 · 2 = 8 \) и \( b^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 · 5 = 20 \):
16. \[ 8 + \frac{1}{2} \vec{a} · \vec{b} - \frac{1}{2} (20) = 0 \]
17. \[ 8 + \frac{1}{2} \vec{a} · \vec{b} - 10 = 0 \]
18. \[ \frac{1}{2} \vec{a} · \vec{b} = 2 \]
19. \[ \vec{a} · \vec{b} = 4 \]
20. Теперь найдем диагональ BD. \( \vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} \).
21. Квадрат длины диагонали \( BD^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2 \).
22. \[ BD^2 = (\vec{b} - \vec{a}) · (\vec{b} - \vec{a}) \]
23. \[ BD^2 = \vec{b} · \vec{b} - 2 \vec{b} · \vec{a} + \vec{a} · \vec{a} \]
24. \[ BD^2 = |\vec{b}|^2 - 2 \vec{a} · \vec{b} + |\vec{a}|^2 \]
25. \[ BD^2 = b^2 - 2 (\vec{a} · \vec{b}) + a^2 \]
26. Подставим найденные значения: \( a^2 = 8 \), \( b^2 = 20 \), \( \vec{a} · \vec{b} = 4 \):
27. \[ BD^2 = 20 - 2(4) + 8 \]
28. \[ BD^2 = 20 - 8 + 8 \]
29. \[ BD^2 = 20 \]
30. \[ BD = \sqrt{20} = \sqrt{4 · 5} = 2\sqrt{5} \]

Ответ: диагональ BD равна \( 2\sqrt{5} \).