10. Установи соответствие между неравенствами и их решениями.

Решение:

Сопоставим неравенства с их решениями:

A) \( \frac{x-2}{(x-4)^2} > 0 \)

Знаменатель \( (x-4)^2 \) всегда положителен, кроме \( x=4 \). Поэтому неравенство равносильно \( x-2 > 0 \) и \( x \neq 4 \). Решение: \( x > 2 \) и \( x \neq 4 \). Это соответствует решению 4) \( 2 < x \).

Б) \( \log_2(x-2) < 1 \)

ОДЗ: \( x-2 > 0 \) \(\Rightarrow\) \( x > 2 \). Преобразуем неравенство: \( x-2 < 2^1 \) \(\Rightarrow\) \( x-2 < 2 \) \(\Rightarrow\) \( x < 4 \). Объединяя с ОДЗ, получаем \( 2 < x < 4 \). Это соответствует решению 3) \( 2 < x < 4 \).

В) \( 2^{x+1} > 0.5 \)

Преобразуем \( 0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1} \). Неравенство: \( 2^{x+1} > 2^{-1} \). Так как основание степени \( 2 > 1 \), то \( x+1 > -1 \) \(\Rightarrow\) \( x > -2 \). Это соответствует решению 1) \( x < 2 \) (но в решении 1 ошибка, должно быть \( x > -2 \)).

Г) \( \frac{x-2}{x-4} > 0 \)

Решаем методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: \( x=2 \) и \( x=4 \). Наносим на числовую прямую: \( (-\infty; 2) \cup (4; +\infty) \). Это соответствует решению 2) \( x < 2; x > 4 \).

Внимание: В варианте решения 1) указано \( x < 2 \), что не соответствует решению неравенства В). Если предположить, что это опечатка и должно быть \( x > -2 \), то соответствие будет верным. Однако, исходя из предоставленных вариантов, мы сопоставим так, как оно есть, и укажем на возможную ошибку.

Соответствие:

• A — 4
• Б — 3
• В — 1 (предполагая ошибку в условии)
• Г — 2

Ответ: А4, Б3, В1, Г2.