10. Тип 10 № 2140. В сосуд со смесью льда и воды доливают воду массой m_в = 60 г. После установления теплового равновесия лёд в сосуде остаётся, но его масса уменьшается на m_л = 22,8 г. Удельная теплота плавления льда \(\lambda\) = 3,4 \(\times\) 10^5 Дж/(кг), удельная теплоёмкость воды \(c_в\) = 4200 Дж/(кг· °С). Известно, что за время проведения эксперимента не весь лёд, находящийся в сосуде. 1. Какое количество теплоты было затрачено на плавление льда? 2. Какова была начальная температура долитой воды? 3. Каков диапазон возможной начальной температуры долитой воды, если абсолютная погрешность измерения массы льда составляет \(\Delta m_л\) = 0,2 г, а масса долитой воды измерялась с точностью \(\varepsilon\) = 1% как больше, так и меньше указанного значения?

Решение:

Дано:

• Масса долитой воды: \( m_в = 60 \text{ г} = 0.06 \text{ кг} \)
• Масса растаявшего льда: \( m_л = 22.8 \text{ г} = 0.0228 \text{ кг} \)
• Удельная теплота плавления льда: \( \lambda = 3.4 \times 10^5 \text{ Дж/(кг)} \)
• Удельная теплоёмкость воды: \( c_в = 4200 \text{ Дж/(кг} °\text{С)} \)
• Погрешность измерения массы льда: \( \Delta m_л = 0.2 \text{ г} = 0.0002 \text{ кг} \)
• Точность измерения массы воды: \( \varepsilon = 1\% \)

Найти:

1. \( Q_{плавления} \)
2. \( t_{начальная} \)
3. Диапазон \( t_{начальная} \)

1. Количество теплоты, затраченное на плавление льда:

Количество теплоты, необходимое для плавления льда, рассчитывается по формуле:

\[ Q_{плавления} = m_л \cdot \lambda \]

Подставляем значения:

\[ Q_{плавления} = 0.0228 \text{ кг} \cdot 3.4 \times 10^5 \text{ Дж/(кг)} \]

\[ Q_{плавления} = 7752 \text{ Дж} \]

2. Начальная температура долитой воды:

Согласно условию, лёд остаётся в сосуде, что означает, что вся теплота, отданная долитой водой, пошла на плавление льда. Следовательно, мы можем приравнять количество теплоты, отданное водой, к количеству теплоты, затраченному на плавление льда:

\[ Q_{отданная водой} = Q_{плавления} \]

Количество теплоты, отданное водой при остывании от начальной температуры \( t_{начальная} \) до 0 °С (температура плавления льда), рассчитывается по формуле:

\[ Q_{отданная водой} = m_в \cdot c_в \cdot (t_{начальная} - 0 \text{ } ^\circ\text{C}) \]

\[ m_в \cdot c_в \cdot t_{начальная} = Q_{плавления} \]

Выразим \( t_{начальная} \):

\[ t_{начальная} = \frac{Q_{плавления}}{m_в \cdot c_в} \]

Подставляем значения:

\[ t_{начальная} = \frac{7752 \text{ Дж}}{0.06 \text{ кг} \cdot 4200 \text{ Дж/(кг} °\text{С)}} \]

\[ t_{начальная} = \frac{7752}{252} °\text{С} \]

\[ t_{начальная} \approx 30.76 \text{ } ^\circ\text{С} \]

3. Диапазон возможной начальной температуры долитой воды:

Для определения диапазона начальной температуры, нам нужно учесть погрешности измерения массы льда и массы воды.

Учёт погрешности массы льда:

Масса льда может варьироваться от \( m_{л, мин} = m_л - \Delta m_л \) до \( m_{л, макс} = m_л + \Delta m_л \).

\[ m_{л, мин} = 22.8 \text{ г} - 0.2 \text{ г} = 22.6 \text{ г} = 0.0226 \text{ кг} \]

\[ m_{л, макс} = 22.8 \text{ г} + 0.2 \text{ г} = 23.0 \text{ г} = 0.0230 \text{ кг} \]

Учёт погрешности массы воды:

Масса воды может варьироваться на \(\varepsilon = 1\% \).

\[ \Delta m_в = m_в \cdot \varepsilon = 60 \text{ г} \cdot 0.01 = 0.6 \text{ г} = 0.0006 \text{ кг} \]

\[ m_{в, мин} = m_в - \Delta m_в = 60 \text{ г} - 0.6 \text{ г} = 59.4 \text{ г} = 0.0594 \text{ кг} \]

\[ m_{в, макс} = m_в + \Delta m_в = 60 \text{ г} + 0.6 \text{ г} = 60.6 \text{ г} = 0.0606 \text{ кг} \]

Теперь рассчитаем минимальную и максимальную начальную температуру, используя формулу \( t_{начальная} = \frac{m_л \cdot \lambda}{m_в \cdot c_в} \).

Минимальная начальная температура (когда масса льда минимальна, а масса воды максимальна):

\[ t_{начальная, мин} = \frac{m_{л, мин} \cdot \lambda}{m_{в, макс} \cdot c_в} = \frac{0.0226 \text{ кг} \cdot 3.4 \times 10^5 \text{ Дж/(кг)}}{0.0606 \text{ кг} \cdot 4200 \text{ Дж/(кг} °\text{С)}}} \]

\[ t_{начальная, мин} = \frac{7684}{254.52} °\text{С} \approx 30.19 \text{ } ^\circ\text{С} \]

Максимальная начальная температура (когда масса льда максимальна, а масса воды минимальна):

\[ t_{начальная, макс} = \frac{m_{л, макс} \cdot \lambda}{m_{в, мин} \cdot c_в} = \frac{0.0230 \text{ кг} \cdot 3.4 \times 10^5 \text{ Дж/(кг)}}{0.0594 \text{ кг} \cdot 4200 \text{ Дж/(кг} °\text{С)}}} \]

\[ t_{начальная, макс} = \frac{7820}{249.48} °\text{С} \approx 31.34 \text{ } ^\circ\text{С} \]

Ответ:

1. Количество теплоты, затраченное на плавление льда, составляет 7752 Дж.
2. Начальная температура долитой воды примерно 30.76 °С.
3. Диапазон возможной начальной температуры долитой воды составляет от 30.19 °С до 31.34 °С.