10. Теплоход прошел 108 км по течению реки и 84 км против течения реки. На весь путь теплоход затратил 8 часов. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 3 км/ч.

Решение:

Обозначим собственную скорость теплохода как \( v \) км/ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч.

• Скорость теплохода по течению: \( v + 3 \) км/ч.
• Скорость теплохода против течения: \( v - 3 \) км/ч.
• Время, затраченное на путь по течению: \( t_1 = \frac{108}{v+3} \) часов.
• Время, затраченное на путь против течения: \( t_2 = \frac{84}{v-3} \) часов.
• Общее время в пути составляет 8 часов: \( t_1 + t_2 = 8 \)

Составим и решим уравнение:

\[ \frac{108}{v+3} + \frac{84}{v-3} = 8 \]

Приведём дроби к общему знаменателю \( (v+3)(v-3) \):

\[ \frac{108(v-3) + 84(v+3)}{(v+3)(v-3)} = 8 \]\[ \frac{108v - 324 + 84v + 252}{v^2 - 9} = 8 \]\[ \frac{192v - 72}{v^2 - 9} = 8 \]

Умножим обе части уравнения на \( v^2 - 9 \), при условии, что \( v \neq \pm 3 \):

\[ 192v - 72 = 8(v^2 - 9) \]\[ 192v - 72 = 8v^2 - 72 \]

Перенесём все члены в одну сторону:

\[ 8v^2 - 192v = 0 \]

Вынесем общий множитель \( 8v \):

\[ 8v(v - 24) = 0 \]

Получаем два возможных решения:

\[ 8v = 0 \Rightarrow v = 0 \]\[ v - 24 = 0 \Rightarrow v = 24 \]

Так как скорость теплохода не может быть равна 0 (тогда бы он не двигался), а также собственная скорость теплохода должна быть больше скорости течения реки для движения против течения (\( v > 3 \)), то подходит только \( v = 24 \) км/ч.

Проверим условие: \( v = 24 \) км/ч.

• Скорость по течению: \( 24 + 3 = 27 \) км/ч. Время: \( \frac{108}{27} = 4 \) часа.
• Скорость против течения: \( 24 - 3 = 21 \) км/ч. Время: \( \frac{84}{21} = 4 \) часа.
• Общее время: \( 4 + 4 = 8 \) часов. Условие выполнено.

Ответ: 24 км/ч.