10. Сократите дробь \(\frac{5^{2n+3} \cdot 3^{n+5}}{75^{n+2}}\)

Решение:

1. Представим число 75 как произведение простых множителей: \( 75 = 3 \times 25 = 3 \times 5^2 \)
2. Подставим это в знаменатель дроби: \[ \frac{5^{2n+3} \cdot 3^{n+5}}{(3 \times 5^2)^{n+2}} \]
3. Раскроем скобки в знаменателе, используя свойство \( (a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m \): \[ \frac{5^{2n+3} \cdot 3^{n+5}}{3^{n+2} \cdot (5^2)^{n+2}} \]
4. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) к члену \( (5^2)^{n+2} \): \[ \frac{5^{2n+3} \cdot 3^{n+5}}{3^{n+2} \cdot 5^{2(n+2)}} \]
5. Упростим показатель степени в знаменателе: \( 2(n+2) = 2n + 4 \): \[ \frac{5^{2n+3} \cdot 3^{n+5}}{3^{n+2} \cdot 5^{2n+4}} \]
6. Разделим степени с одинаковыми основаниями, используя свойство \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \[ 5^{(2n+3) - (2n+4)} \cdot 3^{(n+5) - (n+2)} \]
7. Упростим показатели: \( (2n+3) - (2n+4) = 2n+3-2n-4 = -1 \) и \( (n+5) - (n+2) = n+5-n-2 = 3 \): \[ 5^{-1} \cdot 3^3 \]
8. Вычислим результат: \( 5^{-1} = \frac{1}{5} \) и \( 3^3 = 27 \): \[ \frac{1}{5} \cdot 27 = \frac{27}{5} \]

Ответ: \(\frac{27}{5}\).