10. С какой высоты должен упасть кусок олова, чтобы при ударе о землю он нагрелся на 10°С? Считать, что на нагревание олова идет 40 % работы силы тяжести.

Дано:

\( \Delta T = 10^{\circ} \text{C} \)

\( \eta = 40 \% = 0.4 \) (коэффициент полезного действия)

\( g \approx 9.8 \text{ м/с}^2 \) (ускорение свободного падения)

Найти:

\( h \) — ?

Решение:

1. Работа силы тяжести при падении тела с высоты \( h \) равна:

\[ A_{тяж} = mgh \]

где \( m \) — масса олова, \( g \) — ускорение свободного падения, \( h \) — высота падения.

2. Количество теплоты \( Q \), полученное оловом при ударе, идет на его нагревание:

\[ Q = cm \Delta T \]

где \( c \) — удельная теплоемкость олова, \( m \) — масса олова, \( \Delta T \) — изменение температуры.

3. По условию задачи, на нагревание олова идет 40 % работы силы тяжести:

\[ Q = \eta A_{тяж} \]

4. Приравниваем выражения для \( Q \) и \( \eta A_{тяж} \):

\[ cm \Delta T = \eta mgh \]

5. Масса \( m \) сокращается:

\[ c \Delta T = \eta gh \]

6. Выразим высоту \( h \):

\[ h = \frac{c \Delta T}{\eta g} \]

7. Найдем удельную теплоемкость олова. По справочным данным, \( c_{олова} \approx 230 \text{ Дж/(кг} \cdot ^{\circ} \cdot \text{C})} \).

8. Подставим значения:

\[ h = \frac{230 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot ^{\circ} \cdot \text{C}}} \cdot 10^{\circ} \cdot \text{C}}{0.4 \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} \]

\[ h \approx \frac{2300}{3.92} \text{ м} \approx 586.7 \text{ м} \]

Ответ: Кусок олова должен упасть с высоты приблизительно 586.7 м.