10. Решите уравнение (x² + 2x + 3)² - 17(x² + 2x + 3) = 18. В ответ запишите целые корни уравнения, удовлетворяющие неравенству |x| ≤ 4.

Решение:

Обозначим \( y = x^2 + 2x + 3 \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 17y = 18 \]

Перенесём всё в левую часть:

\[ y^2 - 17y - 18 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \). Дискриминант:

\[ D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 289 + 72 = 361 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{361} = 19 \)

Найдем корни для \( y \):

\[ y_1 = \frac{17 + 19}{2} = \frac{36}{2} = 18 \]

\[ y_2 = \frac{17 - 19}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Теперь подставим обратно \( y = x^2 + 2x + 3 \) и решим два уравнения:

1) \( x^2 + 2x + 3 = 18 \)

\[ x^2 + 2x - 15 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D_1 = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \]

\( \sqrt{D_1} = 8 \)

Корни:

\[ x_1 = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ x_2 = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]

2) \( x^2 + 2x + 3 = -1 \)

\[ x^2 + 2x + 4 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D_2 = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 \]

Так как \( D_2 < 0 \), это уравнение не имеет действительных корней.

У нас есть два действительных корня: \( x = 3 \) и \( x = -5 \).

Теперь проверим условие \( |x| \le 4 \):

Для \( x = 3 \): \( |3| = 3 \). Так как \( 3 \le 4 \), этот корень удовлетворяет условию.

Для \( x = -5 \): \( |-5| = 5 \). Так как \( 5 > 4 \), этот корень не удовлетворяет условию.

Следовательно, единственный целый корень, удовлетворяющий условию, это \( x = 3 \).

Ответ: 3