10. Решите уравнение: 12^x - 8 \(\cdot\) 6^x + 12 \(\cdot\) 3^x = 0.

Решение:

Данное уравнение является показательным. Преобразуем его, чтобы свести к алгебраическому:

1. Перепишем уравнение, используя свойства степеней: \( (2^2 3)^x - 8 (2 3)^x + 12 3^x = 0 \).
2. Разделим обе части уравнения на \( 3^x \) (так как \( 3^x 0 \) при любом \( x \), это допустимое действие): \( \frac{12^x}{3^x} - 8 \frac{6^x}{3^x} + 12 = 0 \).
3. Упростим: \( 4^x - 8 2^x + 12 = 0 \).
4. Сделаем замену переменной. Пусть \( y = 2^x \). Тогда \( 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = y^2 \).
5. Уравнение примет вид: \( y^2 - 8y + 12 = 0 \).
6. Решим полученное квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:
7. \( D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16 \).
8. \( \sqrt{D} = \sqrt{16} = 4 \).
9. Найдем корни для \( y \):
10. \( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 4}{2 1} = \frac{12}{2} = 6 \).
11. \( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 4}{2 1} = \frac{4}{2} = 2 \).
12. Теперь вернемся к замене \( y = 2^x \).
13. Для \( y_1 = 6 \): \( 2^x = 6 \). Логарифмируем обе части по основанию 2: \( x = \log_2 6 \).
14. Для \( y_2 = 2 \): \( 2^x = 2 \). Отсюда \( x = 1 \).

Ответ: x = 1, x = \( \log_2 6 \).