10. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O. BD = AC, OB = OC. Докажите, что ΔAOB = ΔCOD. Найдите периметр ΔCOD, если AB = 9см, BO = 5 см, OD = 7 см.

Решение:

1. Доказательство равенства треугольников:
   • \[ \angle AOB = \angle COD \] (как вертикальные углы).
   • \[ OB = OC \] (по условию).
   • \[ AC = BD \] (по условию). Так как \[ AC = AO + OC \] и \[ BD = BO + OD \], то \[ AO + OC = BO + OD \]. Поскольку \[ OB = OC \], то \[ AO = OD \].
   • Следовательно, \[ \triangle AOB = \triangle COD \] по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними: \[ AO = OD \], \[ OB = OC \], \[ \angle AOB = \angle COD \]).
2. Нахождение периметра ΔCOD:
   • Периметр \[ \triangle COD = CO + OD + CD \].
   • Из равенства треугольников \[ \triangle AOB = \triangle COD \] следует, что \[ CD = AB \] и \[ CO = AO \].
   • По условию \[ AB = 9 \text{ см} \], \[ BO = 5 \text{ см} \], \[ OD = 7 \text{ см} \].
   • Из \[ AO = OD \] следует, что \[ AO = 7 \text{ см} \].
   • Так как \[ OB = OC \], то \[ OC = 5 \text{ см} \].
   • Периметр \[ \triangle COD = 5 \text{ см} + 7 \text{ см} + 9 \text{ см} = 21 \text{ см} \].

Ответ: Периметр ΔCOD равен 21 см.