10. Найдите сумму корней уравнения.

Решение:

Данное уравнение имеет вид:

\[ 5^{2x} - 6 \cdot 5^x + 5 = 0 \]

Сделаем замену переменной. Пусть \( y = 5^x \). Тогда \( y > 0 \). Уравнение примет вид:

\[ y^2 - 6y + 5 = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно \( y \). Решим его:

1. Найдём дискриминант: \( D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \).
2. Найдём корни: \( y_1 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6 + 4}{2} = 5 \) и \( y_2 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{6 - 4}{2} = 1 \).

Оба корня \( y_1 = 5 \) и \( y_2 = 1 \) положительны, поэтому подходят.

Теперь вернёмся к замене \( y = 5^x \):

• Если \( y_1 = 5 \), то \( 5^x = 5 \), откуда \( x_1 = 1 \).
• Если \( y_2 = 1 \), то \( 5^x = 1 \), откуда \( x_2 = 0 \).

Найдем сумму корней:

\[ x_1 + x_2 = 1 + 0 = 1 \]

Ответ: 1