10) На рисунке в окружности из внешней точки проведены две секущие. Угол между секущими равен 25°, угол между хордами AC и секущей AP равен 14°. Найдите угол x.

Обозначим точки окружности так: A — нижняя левая, B — левая, C — верхняя, E — правая верхняя.

1. Рассмотрим треугольник AСP. Его углы при A и P равны 14° и 25°, поэтому
   • ∠ACP = 180° − 14° − 25° = 141°.
2. Так как B, C и P лежат на одной прямой, углы ∠ACP и ∠ACB — смежные:
   ∠ACB = 180° − 141° = 39°.
3. Вписанный угол ∠ACB опирается на дугу AB, значит дуга AB = 2 · 39° = 78°.
4. Угол при внешней точке равен половине разности дуг:
   25° = (дуга BC − дуга AE) / 2,
   поэтому дуга BC − дуга AE = 50°.
5. Сумма дуг окружности равна 360°, а дуга CE = 2 · 14° = 28°:
   78° + дуга BC + 28° + дуга AE = 360°.
   Следовательно, дуга BC + дуга AE = 254°.
6. Решаем систему:
   дуга BC − дуга AE = 50°,
   дуга BC + дуга AE = 254°.
   Получаем дуга AE = 102°.
7. Угол x — вписанный и опирается на дугу AC, не содержащую вершину B:
   x = (дуга AE + дуга EC) / 2 = (102° + 28°) / 2 = 65°.

Ответ: 65°.