10. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник АВС. Найдите длину его медианы, выходящей из вершины В.

Пошаговое решение:

1. Разместим треугольник на координатной плоскости, соответствующей клеткам. Пусть вершина А находится в точке (1, 1), вершина В в точке (3, 6), и вершина С в точке (8, 2).
2. Найдем середину стороны АС. Координаты середины (M) вычисляются по формуле: \( M_x = \frac{x_A + x_C}{2} \) и \( M_y = \frac{y_A + y_C}{2} \).
   \( M_x = \frac{1 + 8}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \)
   \( M_y = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \).
   Таким образом, середина стороны АС находится в точке (4.5, 1.5).
3. Найдем длину медианы ВМ, используя формулу расстояния между двумя точками \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \).
   \( BM = \sqrt{(4.5 - 3)^2 + (1.5 - 6)^2} = \sqrt{(1.5)^2 + (-4.5)^2} = \sqrt{2.25 + 20.25} = \sqrt{22.5} \).
4. Упростим корень: \( \sqrt{22.5} = \sqrt{\frac{45}{2}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 5}{2}} = 3\sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{3\sqrt{10}}{2} \).

Ответ: $$\frac{3\sqrt{10}}{2}$$