10 На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен треугольник АВС. Найдите длину его медианы, выходящей из вершины В.

Решение:

Чтобы найти длину медианы, выходящей из вершины B, нам нужно сначала найти координаты точек A, B и C. Пусть точка, где пересекаются сетки, будет началом координат (0,0).

Исходя из рисунка:

• Точка A имеет координаты (2, 1).
• Точка B имеет координаты (2, 5).
• Точка C имеет координаты (9, 1).

Медиана, выходящая из вершины B, соединяет вершину B с серединой противоположной стороны AC. Найдем середину отрезка AC (обозначим ее как M).

Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:

\[ M = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) \]

\[ M = \left( \frac{2 + 9}{2}, \frac{1 + 1}{2} \right) \]

\[ M = \left( \frac{11}{2}, \frac{2}{2} \right) \]

\[ M = (5.5, 1) \]

Теперь найдем длину медианы BM, используя формулу расстояния между двумя точками:

\[ BM = \sqrt{(x_M - x_B)^2 + (y_M - y_B)^2} \]

\[ BM = \sqrt{(5.5 - 2)^2 + (1 - 5)^2} \]

\[ BM = \sqrt{(3.5)^2 + (-4)^2} \]

\[ BM = \sqrt{12.25 + 16} \]

\[ BM = \sqrt{28.25} \]

Для удобства можно перевести 3.5 в дробь: $$3.5 = \frac{7}{2}$$.

\[ BM = \sqrt{\left(\frac{7}{2}\right)^2 + (-4)^2} \]

\[ BM = \sqrt{\frac{49}{4} + 16} \]

\[ BM = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{64}{4}} \]

\[ BM = \sqrt{\frac{113}{4}} \]

\[ BM = \frac{\sqrt{113}}{2} \]

Если округлить $$\sqrt{113}$$ до двух знаков после запятой, это будет примерно 10.63.

\[ BM \approx \frac{10.63}{2} \approx 5.315 \]

В ответе нужно указать длину медианы. Проверим, не пропустили ли мы что-то в сетке. В сетке 10х9 клеток.

Давайте пересчитаем координаты, ориентируясь на сетку:

• Точка B: (2, 5)
• Точка A: (2, 1)
• Точка C: (9, 1)

Середина AC (точка M):

\[ x_M = \frac{2+9}{2} = \frac{11}{2} = 5.5 \]

\[ y_M = \frac{1+1}{2} = 1 \]

Точка M: (5.5, 1)

Длина медианы BM:

\[ BM = \sqrt{(5.5-2)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{(3.5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{12.25 + 16} = \sqrt{28.25} \]

Теперь можно перевести 28.25 в обыкновенную дробь:

\[ 28.25 = 28 \frac{1}{4} = \frac{112+1}{4} = \frac{113}{4} \]

\[ BM = \sqrt{\frac{113}{4}} = \frac{\sqrt{113}}{2} \]

Это точный ответ. Если нужен десятичный, то:

\[ BM \approx 5.315 \]

Поскольку в сетке все координаты целые, и клетка 1х1, возможно, ожидается более простой ответ. Давайте проверим, не являются ли точки A, B, C выбранными так, чтобы получился