10. Моторная лодка прошла против течения реки 280 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 17 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть \( v \) — скорость течения реки (в км/ч). Тогда скорость лодки против течения равна \( 17 - v \) км/ч, а по течению — \( 17 + v \) км/ч.

Время, затраченное на путь против течения: \( t_{против} = \frac{280}{17 - v} \) часов.

Время, затраченное на путь по течению (обратный путь): \( t_{по} = \frac{280}{17 + v} \) часов.

По условию, на обратный путь было затрачено на 6 часов меньше, то есть:

\( t_{против} - t_{по} = 6 \)

Подставим выражения для времени:

\( \frac{280}{17 - v} - \frac{280}{17 + v} = 6 \)

Разделим обе части уравнения на 280:

\( \frac{1}{17 - v} - \frac{1}{17 + v} = \frac{6}{280} \)

Упростим правую часть:

\( \frac{6}{280} = \frac{3}{140} \)

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю \( (17 - v)(17 + v) \):

\( \frac{(17 + v) - (17 - v)}{(17 - v)(17 + v)} = \frac{3}{140} \)

\( \frac{17 + v - 17 + v}{17^2 - v^2} = \frac{3}{140} \)

\( \frac{2v}{289 - v^2} = \frac{3}{140} \)

Перемножим крест-накрест:

\( 2v \cdot 140 = 3 \cdot (289 - v^2) \)

\( 280v = 867 - 3v^2 \)

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( 3v^2 + 280v - 867 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \( D \):

\[ D = b^2 - 4ac = 280^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-867) \]

\[ D = 78400 + 10404 = 88804 \]

Найдем квадратный корень из дискриминанта:

\[ \sqrt{D} = \sqrt{88804} = 298 \]

Теперь найдём корни \( v \):

\[ v_1 = \frac{-280 + 298}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3 \]

\[ v_2 = \frac{-280 - 298}{2 \cdot 3} = \frac{-578}{6} = -96.33... \]

Скорость течения не может быть отрицательной, поэтому \( v = 3 \) км/ч.

Ответ: 3 км/ч.