10. Летом у Васи на даче целые сутки было открыто окно. В первый час влетел 1 комар, во второй — 2, в третий — 3 и так далее. Начиная со второго часа, Вася без сна и отдыха охотился за комарами. За второй час он убил одного комара, за третий — двух и так далее. Сколько живых комаров было в комнате к концу суток? (A) ни одного (B) 1 (C) 23 (D) 24 (E) 276

Решение:

Задача состоит из двух частей: прилёт комаров и их уничтожение.

1. Прилёт комаров:

В первый час влетел 1 комар.

Во второй час — 2 комара.

В третий час — 3 комара.

... и так далее. Всего 24 часа в сутках.

Количество прилетевших комаров за 24 часа — это сумма арифметической прогрессии от 1 до 24:

\( S_{24} = \frac{(a_1 + a_{24}) \cdot n}{2} \), где \( a_1 = 1 \), \( a_{24} = 24 \), \( n = 24 \).

\[ S_{24} = \frac{(1 + 24) \cdot 24}{2} = \frac{25 \cdot 24}{2} = 25 \cdot 12 = 300 \] комаров.

2. Уничтожение комаров:

Вася начал охоту со второго часа.

Во второй час убил 1 комара.

В третий час — 2 комара.

... и так далее.

Охота продолжалась с 2-го по 24-й час. Всего 23 часа охоты.

Количество убитых комаров — это сумма арифметической прогрессии от 1 до 23:

\( S_{23} = \frac{(a_1 + a_{23}) \cdot n}{2} \), где \( a_1 = 1 \), \( a_{23} = 23 \), \( n = 23 \).

\[ S_{23} = \frac{(1 + 23) \cdot 23}{2} = \frac{24 \cdot 23}{2} = 12 \cdot 23 = 276 \] комаров.

3. Живые комары к концу суток:

Количество живых комаров = (Всего прилетевших комаров) - (Всего убитых комаров).

\[ 300 - 276 = 24 \] комара.

Ответ: 24