10. Кондитер испёк 50 печений, из них 25 штук он посыпал кокосовой стружкой, а 15 штук — сахарной пудрой (кондитер может посыпать одно печенье и кокосовой стружкой, и сахарной пудрой, а может вообще ничем не посыпать). Укажите номера истинных утверждений. 1) Найдётся 8 печений, которые ничем не посыпаны. 2) Найдётся 17 печений, посыпанных и кокосовой стружкой, и сахарной пудрой. 3) Каждое печенье, посыпанное кокосовой стружкой, посыпано и сахарной пудрой. 4) Меньше 16 печений посыпаны и кокосовой стружкой, и сахарной пудрой.

Дано:

• Всего печений: 50 шт.
• Посыпаны кокосовой стружкой (К): 25 шт.
• Посыпаны сахарной пудрой (С): 15 шт.

Найти: Истинные утверждения.

Решение:

Обозначим:

• \[ K \] — множество печений, посыпанных кокосовой стружкой.
• \[ S \] — множество печений, посыпанных сахарной пудрой.
• \[ K ∪ S \] — множество печений, посыпанных хотя бы чем-то.
• \[ K ∩ S \] — множество печений, посыпанных и тем, и другим.
• \[ |X| \] — количество элементов в множестве X.

Из условия известно:

• \[ |K| = 25 \]
• \[ |S| = 15 \]
• \[ |K ⊂ (K ⊂ S)| \] — количество печений, посыпанных кокосовой стружкой (может быть и пудрой).
• \[ |S ⊂ (K ⊂ S)| \] — количество печений, посыпанных сахарной пудрой (может быть и стружкой).
• \[ |K ∪ S| ≤ 50 \] — общее количество печений.

Анализируем утверждения:

1. Утверждение 1: Найдётся 8 печений, которые ничем не посыпаны.

   Количество печений, посыпанных хотя бы чем-то (K ∪ S), может быть от \[ | K | = 25 \] (если все посыпанные пудрой также посыпаны стружкой) до \[ |K| + |S| = 25 + 15 = 40 \] (если множества не пересекаются).
   Если \[ |K ∪ S| = 40 \], то не посыпаны \[ 50 - 40 = 10 \] печений.
   Если \[ |K ∪ S| = 25 \], то не посыпаны \[ 50 - 25 = 25 \] печений.
   Минимальное количество не посыпаных — 10. Утверждение о 8 печениях не является гарантированно истинным. Возможно, но не обязательно. Так как в условии сказано "найдется", то это возможно. Минимальное количество не посыпаных — 10, значит 8 точно найдется.

2. Утверждение 2: Найдётся 17 печений, посыпанных и кокосовой стружкой, и сахарной пудрой.

   Количество печений, посыпанных обоим, равно \[ |K ∩ S| = |K| + |S| - |K ∪ S| \].
   Максимальное пересечение \[ |K ∩ S| \] достигается, когда \[ |K ∪ S| \] максимально. Максимальное \[ |K ∪ S| \] равно 50.
   Тогда \[ |K ∩ S| = 25 + 15 - 50 = -10 \], что невозможно. Это означает, что \[ |K ∪ S| \] не может быть 50. На самом деле, \[ |K ∪ S| ≤ |K| + |S| = 40 \].
   Минимальное \[ |K ∩ S| \] достигается, когда \[ |K ∪ S| \] максимально, то есть 40. В этом случае \[ |K ∩ S| = 25 + 15 - 40 = 0 \].
   Максимальное \[ |K ∩ S| \] достигается, когда \[ |K ∪ S| \] минимально. Минимальное \[ |K ∪ S| \] равно \[ | | K | - S | | = | 25 - 15 | = 10 \] (если одно множество полностью входит в другое). Это невозможно, так как \[ |K| > |S| \].
   Минимальное \[ |K ∪ S| \] — это | K | = 25 (если все посыпанные пудрой также посыпаны стружкой). Тогда \[ |K ∩ S| = 25 + 15 - 25 = 15 \].
   Так как | S | = 15, то это означает, что все печенья, посыпанные пудрой, также посыпаны стружкой. В этом случае | K ∩ S | = 15.
   Возможные значения | K ∩ S | находятся в диапазоне от 0 до 15.
   Утверждение о 17 печеньях не может быть истинным.

3. Утверждение 3: Каждое печенье, посыпанное кокосовой стружкой, посыпано и сахарной пудрой.

   Это означало бы, что | K ∩ S | = | K | = 25. Но | S | = 15. Это невозможно, так как пересечение не может быть больше одного из множеств.

4. Утверждение 4: Меньше 16 печений посыпаны и кокосовой стружкой, и сахарной пудрой.

   Как показано в пункте 2, максимальное количество печений, посыпанных обоим, равно 15. Следовательно, меньше 16 печений (т.е. 15 или меньше) посыпаны и стружкой, и пудрой. Это утверждение истинно.

Истинные утверждения: 1 и 4.

Ответ: 1, 4