10. Четырёхзначное число А состоит из цифр 1, 4, 6, 9, а четырёхзначное число В из цифр 2, 3, 8, 9. Известно, что В=2А. Найдите число А. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число, большее 1500.

Решение:

Число А состоит из цифр {1, 4, 6, 9}. Число В состоит из цифр {2, 3, 8, 9}. Известно, что \( B = 2A \) и \( A > 1500 \).

Так как \( B = 2A \), число \( B \) должно оканчиваться на чётную цифру. Цифры числа \( B \) — {2, 3, 8, 9}. Следовательно, \( B \) может оканчиваться на 2 или 8.

Если \( B \) оканчивается на 2, то \( A \) должно оканчиваться на 1 или 6 (так как \( 2 \times 1 = 2 \), \( 2 \times 6 = 12 \)). Цифры числа \( A \) — {1, 4, 6, 9}. Значит, \( A \) может оканчиваться на 1 или 6.

Если \( B \) оканчивается на 8, то \( A \) должно оканчиваться на 4 или 9 (так как \( 2 \times 4 = 8 \), \( 2 \times 9 = 18 \)). Цифры числа \( A \) — {1, 4, 6, 9}. Значит, \( A \) может оканчиваться на 4 или 9.

Рассмотрим случаи:

Случай 1: \( A \) оканчивается на 1.

• \( A \) имеет вид \( \text{\_\_\_}1 \). Цифры \( A \) — {1, 4, 6, 9}. Оставшиеся цифры для \( A \) — {4, 6, 9}.
• \( A \) должно быть больше 1500.
• Возможные числа \( A \): 4691, 4961, 6491, 6941, 9461, 9641.
• Проверим, какие из них при умножении на 2 дадут число с цифрами {2, 3, 8, 9}.
• \( 4691 \times 2 = 9382 \). Цифры {9, 3, 8, 2}. Это соответствует условию. \( A = 4691 > 1500 \).

Случай 2: \( A \) оканчивается на 6.

• \( A \) имеет вид \( \text{\_\_\_}6 \). Цифры \( A \) — {1, 4, 6, 9}. Оставшиеся цифры для \( A \) — {1, 4, 9}.
• \( A \) должно быть больше 1500.
• Возможные числа \( A \): 1496, 1946, 4196, 4916, 9146, 9416.
• Проверим, какие из них при умножении на 2 дадут число с цифрами {2, 3, 8, 9}.
• \( 1496 \times 2 = 2992 \). Не подходит (цифра 9 повторяется, нет 3 и 8).
• \( 1946 \times 2 = 3892 \). Цифры {3, 8, 9, 2}. Это соответствует условию. \( A = 1946 > 1500 \).

Случай 3: \( A \) оканчивается на 4.

• \( A \) имеет вид \( \text{\_\_\_}4 \). Цифры \( A \) — {1, 4, 6, 9}. Оставшиеся цифры для \( A \) — {1, 6, 9}.
• \( A \) должно быть больше 1500.
• Возможные числа \( A \): 1694, 1964, 6194, 6914, 9164, 9614.
• Проверим, какие из них при умножении на 2 дадут число с цифрами {2, 3, 8, 9}.
• \( 1694 \times 2 = 3388 \). Не подходит (цифра 3 и 8 повторяются, нет 2 и 9).
• \( 1964 \times 2 = 3928 \). Цифры {3, 9, 2, 8}. Это соответствует условию. \( A = 1964 > 1500 \).

Случай 4: \( A \) оканчивается на 9.

• \( A \) имеет вид \( \text{\_\_\_}9 \). Цифры \( A \) — {1, 4, 6, 9}. Оставшиеся цифры для \( A \) — {1, 4, 6}.
• \( A \) должно быть больше 1500.
• Возможные числа \( A \): 1469, 1649, 4169, 4619, 6149, 6419.
• Проверим, какие из них при умножении на 2 дадут число с цифрами {2, 3, 8, 9}.
• \( 1469 \times 2 = 2938 \). Цифры {2, 9, 3, 8}. Это соответствует условию. \( A = 1469 \). Но \( A \) должно быть больше 1500.
• \( 1649 \times 2 = 3298 \). Цифры {3, 2, 9, 8}. Это соответствует условию. \( A = 1649 > 1500 \).

Мы нашли несколько возможных значений для \( A \). Нужно записать какое-нибудь одно, большее 1500.

Например, \( A = 1649 \).

Проверка: \( A = 1649 \) (цифры 1, 6, 4, 9). \( B = 2 \times 1649 = 3298 \) (цифры 3, 2, 9, 8). Условие выполняется.

Другой пример: \( A = 1946 \).

Проверка: \( A = 1946 \) (цифры 1, 9, 4, 6). \( B = 2 \times 1946 = 3892 \) (цифры 3, 8, 9, 2). Условие выполняется.

Другой пример: \( A = 4691 \).

Проверка: \( A = 4691 \) (цифры 4, 6, 9, 1). \( B = 2 \times 4691 = 9382 \) (цифры 9, 3, 8, 2). Условие выполняется.

Другой пример: \( A = 1964 \).

Проверка: \( A = 1964 \) (цифры 1, 9, 6, 4). \( B = 2 \times 1964 = 3928 \) (цифры 3, 9, 2, 8). Условие выполняется.

Ответ: 1649