10.42. Решите уравнения, содержащие переменную под знаком модуля:

Решение:

a) \( |x + 2| = 2(3 - x) \)

Случай 1: \( x + 2 \ge 0 \), то есть \( x \ge -2 \). Тогда \( x + 2 = 2(3 - x) \) \( \Rightarrow \) \( x + 2 = 6 - 2x \) \( \Rightarrow \) \( 3x = 4 \) \( \Rightarrow \) \( x = \frac{4}{3} \). Так как \( \frac{4}{3} \ge -2 \), то \( x = \frac{4}{3} \) — решение.

Случай 2: \( x + 2 < 0 \), то есть \( x < -2 \). Тогда \( -(x + 2) = 2(3 - x) \) \( \Rightarrow \) \( -x - 2 = 6 - 2x \) \( \Rightarrow \) \( x = 8 \). Так как \( 8 \not< -2 \), то \( x = 8 \) — не является решением.

Ответ: \( x = \frac{4}{3} \).

б) \( |3x + 1| = 9 - x \)

Чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы \( 9 - x \ge 0 \), то есть \( x \le 9 \).

Случай 1: \( 3x + 1 \ge 0 \), то есть \( x \ge -\frac{1}{3} \). Тогда \( 3x + 1 = 9 - x \) \( \Rightarrow \) \( 4x = 8 \) \( \Rightarrow \) \( x = 2 \). Так как \( 2 \ge -\frac{1}{3} \) и \( 2 \le 9 \), то \( x = 2 \) — решение.

Случай 2: \( 3x + 1 < 0 \), то есть \( x < -\frac{1}{3} \). Тогда \( -(3x + 1) = 9 - x \) \( \Rightarrow \) \( -3x - 1 = 9 - x \) \( \Rightarrow \) \( -2x = 10 \) \( \Rightarrow \) \( x = -5 \). Так как \( -5 < -\frac{1}{3} \) и \( -5 \le 9 \), то \( x = -5 \) — решение.

Ответ: \( x = 2, x = -5 \).

в) \( |x + 3| + |2x + 1| = 8 \)

Рассмотрим интервалы, где знаки выражений под модулем меняются:

\( x + 3 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x = -3 \)

\( 2x + 1 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x = -0.5 \)

Интервалы: \( (-\infty, -3] \), \( (-3, -0.5] \), \( (-0.5, \infty) \).

Случай 1: \( x \in (-\infty, -3] \). \( -(x + 3) - (2x + 1) = 8 \) \( \Rightarrow \) \( -x - 3 - 2x - 1 = 8 \) \( \Rightarrow \) \( -3x = 12 \) \( \Rightarrow \) \( x = -4 \). \( -4 \) принадлежит \( (-\infty, -3] \), значит \( x = -4 \) — решение.

Случай 2: \( x \in (-3, -0.5] \). \( (x + 3) - (2x + 1) = 8 \) \( \Rightarrow \) \( x + 3 - 2x - 1 = 8 \) \( \Rightarrow \) \( -x = 6 \) \( \Rightarrow \) \( x = -6 \). \( -6 \) не принадлежит \( (-3, -0.5] \), значит \( x = -6 \) — не решение.

Случай 3: \( x \in (-0.5, \infty) \). \( (x + 3) + (2x + 1) = 8 \) \( \Rightarrow \) \( 3x + 4 = 8 \) \( \Rightarrow \) \( 3x = 4 \) \( \Rightarrow \) \( x = \frac{4}{3} \). \( \frac{4}{3} \) принадлежит \( (-0.5, \infty) \), значит \( x = \frac{4}{3} \) — решение.

Ответ: \( x = -4, x = \frac{4}{3} \).

г) \( \frac{|3x + 1|}{|x - 3|} = 3 \)

Условие: \( x
e 3 \). \( \frac{|3x + 1|}{|x - 3|} = 3 \) \( \Rightarrow \) \( |3x + 1| = 3|x - 3| \).

Возведём обе части в квадрат:

\( (3x + 1)^2 = (3(x - 3))^2 \)

\( 9x^2 + 6x + 1 = 9(x^2 - 6x + 9) \)

\( 9x^2 + 6x + 1 = 9x^2 - 54x + 81 \)

\( 6x + 1 = -54x + 81 \)

\( 60x = 80 \)

\( x = \frac{80}{60} = \frac{4}{3} \). \( \frac{4}{3} \) не равно \( 3 \), значит, \( x = \frac{4}{3} \) — решение.

Ответ: \( x = \frac{4}{3} \).

д) \( |x^2 - x| + 2x = 6 \)

Случай 1: \( x^2 - x \ge 0 \), то есть \( x(x - 1) \ge 0 \), что верно при \( x \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty) \). Тогда \( x^2 - x + 2x = 6 \) \( \Rightarrow \) \( x^2 + x - 6 = 0 \). \( D = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \). \( x = \frac{-1 \pm 5}{2} \). \( x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \). \( 2 \) принадлежит \( [1, \infty) \), значит, \( x = 2 \) — решение.

\( x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \). \( -3 \) принадлежит \( (-\infty, 0] \), значит, \( x = -3 \) — решение.

Случай 2: \( x^2 - x < 0 \), то есть \( x(x - 1) < 0 \), что верно при \( x \in (0, 1) \). Тогда \( -(x^2 - x) + 2x = 6 \) \( \Rightarrow \) \( -x^2 + x + 2x = 6 \) \( \Rightarrow \) \( -x^2 + 3x - 6 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x^2 - 3x + 6 = 0 \). \( D = (-3)^2 - 4(1)(6) = 9 - 24 = -15 \). Так как \( D < 0 \), действительных корней нет.

Ответ: \( x = 2, x = -3 \).

e) \( |1 - x| - |x + 3| = |x + 2| \)

Рассмотрим интервалы, где знаки выражений под модулем меняются:

\( 1 - x = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x = 1 \)

\( x + 3 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x = -3 \)

\( x + 2 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x = -2 \)

Интервалы: \( (-\infty, -3] \), \( (-3, -2] \), \( (-2, 1] \), \( (1, \infty) \).

Случай 1: \( x \in (-\infty, -3] \). \( (1 - x) - (-(x + 3)) = -(x + 2) \) \( \Rightarrow \) \( 1 - x + x + 3 = -x - 2 \) \( \Rightarrow \) \( 4 = -x - 2 \) \( \Rightarrow \) \( x = -6 \). \( -6 \) принадлежит \( (-\infty, -3] \), значит, \( x = -6 \) — решение.

Случай 2: \( x \in (-3, -2] \). \( (1 - x) - (x + 3) = -(x + 2) \) \( \Rightarrow \) \( 1 - x - x - 3 = -x - 2 \) \( \Rightarrow \) \( -2x - 2 = -x - 2 \) \( \Rightarrow \) \( -x = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x = 0 \). \( 0 \) не принадлежит \( (-3, -2] \), значит, \( x = 0 \) — не решение.

Случай 3: \( x \in (-2, 1] \). \( (1 - x) - (x + 3) = (x + 2) \) \( \Rightarrow \) \( 1 - x - x - 3 = x + 2 \) \( \Rightarrow \) \( -2x - 2 = x + 2 \) \( \Rightarrow \) \( -3x = 4 \) \( \Rightarrow \) \( x = -\frac{4}{3} \). \( -\frac{4}{3} \) не принадлежит \( (-2, 1] \), значит, \( x = -\frac{4}{3} \) — не решение.

Случай 4: \( x \in (1, \infty) \). \( -(1 - x) - (x + 3) = (x + 2) \) \( \Rightarrow \) \( -1 + x - x - 3 = x + 2 \) \( \Rightarrow \) \( -4 = x + 2 \) \( \Rightarrow \) \( x = -6 \). \( -6 \) не принадлежит \( (1, \infty) \), значит, \( x = -6 \) — не решение.

Ответ: \( x = -6 \).

ж) \( 11 - x = |3x - 2| \)

Необходимое условие: \( 11 - x \ge 0 \) \( \Rightarrow \) \( x \le 11 \).

Случай 1: \( 3x - 2 \ge 0 \) \( \Rightarrow \) \( x \ge \frac{2}{3} \). Тогда \( 11 - x = 3x - 2 \) \( \Rightarrow \) \( 13 = 4x \) \( \Rightarrow \) \( x = \frac{13}{4} \). \( \frac{13}{4} \) принадлежит \( [\frac{2}{3}, 11] \), значит, \( x = \frac{13}{4} \) — решение.

Случай 2: \( 3x - 2 < 0 \) \( \Rightarrow \) \( x < \frac{2}{3} \). Тогда \( 11 - x = -(3x - 2) \) \( \Rightarrow \) \( 11 - x = -3x + 2 \) \( \Rightarrow \) \( 2x = -9 \) \( \Rightarrow \) \( x = -\frac{9}{2} \). \( -\frac{9}{2} \) принадлежит \( (-\infty, \frac{2}{3}) \) и \( x = -\frac{9}{2} \) \( \le 11 \), значит, \( x = -\frac{9}{2} \) — решение.

Ответ: \( x = \frac{13}{4}, x = -\frac{9}{2} \).

з) \( |x + 1| + |x - 2| = 3 \)

Рассмотрим интервалы:

\( x + 1 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x = -1 \)

\( x - 2 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x = 2 \)

Интервалы: \( (-\infty, -1] \), \( (-1, 2] \), \( (2, \infty) \).

Случай 1: \( x \in (-\infty, -1] \). \( -(x + 1) - (x - 2) = 3 \) \( \Rightarrow \) \( -x - 1 - x + 2 = 3 \) \( \Rightarrow \) \( -2x = 2 \) \( \Rightarrow \) \( x = -1 \). \( -1 \) принадлежит \( (-\infty, -1] \), значит, \( x = -1 \) — решение.

Случай 2: \( x \in (-1, 2] \). \( (x + 1) - (x - 2) = 3 \) \( \Rightarrow \) \( x + 1 - x + 2 = 3 \) \( \Rightarrow \) \( 3 = 3 \). Это равенство верно для всех \( x \) из интервала \( (-1, 2] \). Значит, все \( x \in (-1, 2] \) — решения.

Случай 3: \( x \in (2, \infty) \). \( (x + 1) + (x - 2) = 3 \) \( \Rightarrow \) \( 2x - 1 = 3 \) \( \Rightarrow \) \( 2x = 4 \) \( \Rightarrow \) \( x = 2 \). \( 2 \) не принадлежит \( (2, \infty) \), но является концом интервала из случая 2.

Объединяя решения, получаем \( x \in [-1, 2] \).

Ответ: \( [-1, 2] \).

и) \( |4 - x| + |x - 2| = 2 \)

Рассмотрим интервалы:

\( 4 - x = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x = 4 \)

\( x - 2 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x = 2 \)

Интервалы: \( (-\infty, 2] \), \( (2, 4] \), \( (4, \infty) \).

Случай 1: \( x \in (-\infty, 2] \). \( (4 - x) + (-(x - 2)) = 2 \) \( \Rightarrow \) \( 4 - x - x + 2 = 2 \) \( \Rightarrow \) \( 6 - 2x = 2 \) \( \Rightarrow \) \( 2x = 4 \) \( \Rightarrow \) \( x = 2 \). \( 2 \) принадлежит \( (-\infty, 2] \), значит, \( x = 2 \) — решение.

Случай 2: \( x \in (2, 4] \). \( (4 - x) + (x - 2) = 2 \) \( \Rightarrow \) \( 4 - x + x - 2 = 2 \) \( \Rightarrow \) \( 2 = 2 \). Это равенство верно для всех \( x \) из интервала \( (2, 4] \). Значит, все \( x \in (2, 4] \) — решения.

Случай 3: \( x \in (4, \infty) \). \( -(4 - x) + (x - 2) = 2 \) \( \Rightarrow \) \( -4 + x + x - 2 = 2 \) \( \Rightarrow \) \( 2x - 6 = 2 \) \( \Rightarrow \) \( 2x = 8 \) \( \Rightarrow \) \( x = 4 \). \( 4 \) не принадлежит \( (4, \infty) \), но является концом интервала из случая 2.

Объединяя решения, получаем \( x \in [2, 4] \).

Ответ: \( [2, 4] \).

к) \( |x^2 + x| = 5 - 3x \)

Необходимое условие: \( 5 - 3x \ge 0 \) \( \Rightarrow \) \( 5 \ge 3x \) \( \Rightarrow \) \( x \le \frac{5}{3} \).

Случай 1: \( x^2 + x \ge 0 \) \( \Rightarrow \) \( x(x + 1) \ge 0 \) \( \Rightarrow \) \( x \in (-\infty, -1] \cup [0, \infty) \). Тогда \( x^2 + x = 5 - 3x \) \( \Rightarrow \) \( x^2 + 4x - 5 = 0 \). \( D = 4^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36 \). \( x = \frac{-4 \pm 6}{2} \). \( x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \). \( 1 \) принадлежит \( [0, \infty) \) и \( 1 \le \frac{5}{3} \), значит, \( x = 1 \) — решение.

\( x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = -5 \). \( -5 \) принадлежит \( (-\infty, -1] \) и \( -5 \le \frac{5}{3} \), значит, \( x = -5 \) — решение.

Случай 2: \( x^2 + x < 0 \) \( \Rightarrow \) \( x(x + 1) < 0 \) \( \Rightarrow \) \( x \in (-1, 0) \). Тогда \( -(x^2 + x) = 5 - 3x \) \( \Rightarrow \) \( -x^2 - x = 5 - 3x \) \( \Rightarrow \) \( -x^2 + 2x - 5 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x^2 - 2x + 5 = 0 \). \( D = (-2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 \). Так как \( D < 0 \), действительных корней нет.

Ответ: \( x = 1, x = -5 \).

л) \( |2x^2 + x| - 8 = x \)

\( |2x^2 + x| = x + 8 \).

Необходимое условие: \( x + 8 \ge 0 \) \( \Rightarrow \) \( x \ge -8 \).

Случай 1: \( 2x^2 + x \ge 0 \) \( \Rightarrow \) \( x(2x + 1) \ge 0 \) \( \Rightarrow \) \( x \in (-\infty, -0.5] \cup [0, \infty) \). Тогда \( 2x^2 + x = x + 8 \) \( \Rightarrow \) \( 2x^2 = 8 \) \( \Rightarrow \) \( x^2 = 4 \) \( \Rightarrow \) \( x = \pm 2 \). \( x = 2 \) принадлежит \( [0, \infty) \) и \( 2 \ge -8 \), значит, \( x = 2 \) — решение. \( x = -2 \) принадлежит \( (-\infty, -0.5] \) и \( -2 \ge -8 \), значит, \( x = -2 \) — решение.

Случай 2: \( 2x^2 + x < 0 \) \( \Rightarrow \) \( x(2x + 1) < 0 \) \( \Rightarrow \) \( x \in (-0.5, 0) \). Тогда \( -(2x^2 + x) = x + 8 \) \( \Rightarrow \) \( -2x^2 - x = x + 8 \) \( \Rightarrow \) \( -2x^2 - 2x - 8 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x^2 + x + 4 = 0 \). \( D = 1^2 - 4(1)(4) = 1 - 16 = -15 \). Так как \( D < 0 \), действительных корней нет.

Ответ: \( x = 2, x = -2 \).

м) \( |x| + |x + 2| + |2 - x| = x + 1 \)

Рассмотрим интервалы, где знаки выражений под модулем меняются:

\( x = 0 \), \( x + 2 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x = -2 \), \( 2 - x = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x = 2 \).

Интервалы: \( (-\infty, -2] \), \( (-2, 0] \), \( (0, 2] \), \( (2, \infty) \).

Случай 1: \( x \in (-\infty, -2] \). \( -x - (x + 2) + (2 - x) = x + 1 \) \( \Rightarrow \) \( -x - x - 2 + 2 - x = x + 1 \) \( \Rightarrow \) \( -3x = x + 1 \) \( \Rightarrow \) \( -4x = 1 \) \( \Rightarrow \) \( x = -0.25 \). \( -0.25 \) не принадлежит \( (-\infty, -2] \).

Случай 2: \( x \in (-2, 0] \). \( -x + (x + 2) + (2 - x) = x + 1 \) \( \Rightarrow \) \( -x + x + 2 + 2 - x = x + 1 \) \( \Rightarrow \) \( 4 - x = x + 1 \) \( \Rightarrow \) \( 3 = 2x \) \( \Rightarrow \) \( x = 1.5 \). \( 1.5 \) не принадлежит \( (-2, 0] \).

Случай 3: \( x \in (0, 2] \). \( x + (x + 2) + (2 - x) = x + 1 \) \( \Rightarrow \) \( x + x + 2 + 2 - x = x + 1 \) \( \Rightarrow \) \( x + 4 = x + 1 \) \( \Rightarrow \) \( 4 = 1 \). Нет решений.

Случай 4: \( x \in (2, \infty) \). \( x + (x + 2) + -(2 - x) = x + 1 \) \( \Rightarrow \) \( x + x + 2 - 2 + x = x + 1 \) \( \Rightarrow \) \( 3x = x + 1 \) \( \Rightarrow \) \( 2x = 1 \) \( \Rightarrow \) \( x = 0.5 \). \( 0.5 \) не принадлежит \( (2, \infty) \).

Ответ: решений нет.