1. Выполните действия: a) (4x - 7)(2 - 3x) 6) (1 - 2x)(5 + x^2) 2. Преобразуйте в многочлен стандартного вида: a) (a^2 + a + 1)(a - a^2 + 1) 6) (a^5 + a^4 + a^3 + a^2 + a + 1)(a - 1). 3. Решите уравнения: a) (x-2)(3x+5) - (x+1)(5x-2) / 3 = -2 6) (x+1)(x+5) - (x+2)(x-a) = 5.

Задание 1. Выполнение действий

а) (4x - 7)(2 - 3x)

Раскроем скобки:

\[ (4x - 7)(2 - 3x) = 4x \cdot 2 + 4x \cdot (-3x) - 7 \cdot 2 - 7 \cdot (-3x) \]

\[ = 8x - 12x^2 - 14 + 21x \]

Приведем подобные слагаемые:

\[ = -12x^2 + (8x + 21x) - 14 \]

\[ = -12x^2 + 29x - 14 \]

б) (1 - 2x)(5 + x^2)

Раскроем скобки:

\[ (1 - 2x)(5 + x^2) = 1 \cdot 5 + 1 \cdot x^2 - 2x \cdot 5 - 2x \cdot x^2 \]

\[ = 5 + x^2 - 10x - 2x^3 \]

Приведем к стандартному виду (по убыванию степеней):

\[ = -2x^3 + x^2 - 10x + 5 \]

Задание 2. Преобразование в многочлен стандартного вида

а) (a^2 + a + 1)(a - a^2 + 1)

Для удобства перегруппируем слагаемые:

\[ ((a^2 + 1) + a)((a^2 + 1) - a) \]

Это разность квадратов:

\[ (a^2 + 1)^2 - a^2 \]

Раскроем квадрат суммы:

\[ (a^4 + 2a^2 + 1) - a^2 \]

\[ = a^4 + 2a^2 - a^2 + 1 \]

\[ = a^4 + a^2 + 1 \]

б) (a^5 + a^4 + a^3 + a^2 + a + 1)(a - 1)

Этот многочлен является суммой геометрической прогрессии. Умножим его на \( (a - 1) \):

\[ (a^5 + a^4 + a^3 + a^2 + a + 1)(a - 1) = a(a^5 + a^4 + a^3 + a^2 + a + 1) - 1(a^5 + a^4 + a^3 + a^2 + a + 1) \]

\[ = (a^6 + a^5 + a^4 + a^3 + a^2 + a) - (a^5 + a^4 + a^3 + a^2 + a + 1) \]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[ = a^6 + a^5 + a^4 + a^3 + a^2 + a - a^5 - a^4 - a^3 - a^2 - a - 1 \]

\[ = a^6 - 1 \]

Задание 3. Решение уравнений

а) (x-2)(3x+5) - (x+1)(5x-2) / 3 = -2

Умножим все уравнение на 3, чтобы избавиться от дроби:

\[ 3(x-2)(3x+5) - (x+1)(5x-2) = 3 \cdot (-2) \]

Раскроем первые скобки:

\[ 3(3x^2 + 5x - 6x - 10) - (5x^2 - 2x + 5x - 2) = -6 \]

\[ 3(3x^2 - x - 10) - (5x^2 + 3x - 2) = -6 \]

Раскроем оставшиеся скобки:

\[ 9x^2 - 3x - 30 - 5x^2 - 3x + 2 = -6 \]

Приведем подобные слагаемые:

\[ (9x^2 - 5x^2) + (-3x - 3x) + (-30 + 2) = -6 \]

\[ 4x^2 - 6x - 28 = -6 \]

Перенесем -6 в левую часть:

\[ 4x^2 - 6x - 28 + 6 = 0 \]

\[ 4x^2 - 6x - 22 = 0 \]

Разделим на 2:

\[ 2x^2 - 3x - 11 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-11) = 9 + 88 = 97 \]

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{97}}{4} \]

б) (x+1)(x+5) - (x+2)(x-a) = 5

Раскроем скобки:

\[ (x^2 + 5x + x + 5) - (x^2 - ax + 2x - 2a) = 5 \]

\[ (x^2 + 6x + 5) - (x^2 + (2-a)x - 2a) = 5 \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 + 6x + 5 - x^2 - (2-a)x + 2a = 5 \]

Приведем подобные слагаемые:

\[ (x^2 - x^2) + (6x - (2-a)x) + (5 + 2a) = 5 \]

\[ (6 - (2-a))x + 5 + 2a = 5 \]

\[ (6 - 2 + a)x + 5 + 2a = 5 \]

\[ (4 + a)x + 5 + 2a = 5 \]

Вычтем 5 из обеих частей:

\[ (4 + a)x + 2a = 0 \]

Вычтем 2a из обеих частей:

\[ (4 + a)x = -2a \]

Если \( 4 + a \neq 0 \), то:

\[ x = \frac{-2a}{4 + a} \]

Если \( a = -4 \), то \( 0 \cdot x = 8 \), что не имеет решений.

Ответ: а) \( x = \frac{3 \pm \sqrt{97}}{4} \), б) \( x = \frac{-2a}{4 + a} \) при \( a \neq -4 \).