1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = -x²+3 и у = 2х.

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = -x^2 + 3 \) и \( y = 2x \), сначала найдем точки их пересечения, приравняв уравнения:

\[ -x^2 + 3 = 2x \]\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \).

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \]\[ x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \]

Теперь вычислим площадь фигуры как определенный интеграл разности функций между точками пересечения:

\[ S = \int_{-3}^{1} ((-x^2 + 3) - 2x) dx \]\[ S = \int_{-3}^{1} (-x^2 - 2x + 3) dx \]

Найдем первообразную:

\[ F(x) = -\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x \]

Вычислим значение первообразной в пределах интегрирования:

\[ S = F(1) - F(-3) \]\[ F(1) = -\frac{1^3}{3} - 1^2 + 3(1) = -\frac{1}{3} - 1 + 3 = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \]\[ F(-3) = -\frac{(-3)^3}{3} - (-3)^2 + 3(-3) = -\frac{-27}{3} - 9 - 9 = 9 - 9 - 9 = -9 \]\[ S = \frac{5}{3} - (-9) = \frac{5}{3} + 9 = \frac{5 + 27}{3} = \frac{32}{3} \]

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{32}{3} \).