1. Вычислите: a) 8⁻²; б) 16 ⋅ 2⁻⁵; в) (64 ⋅ 4⁻⁴)⁻²; г) 7⁻⁷ / (7⁴ ⋅ 7⁻⁹). 2. Упростите выражение и приведите его к виду, не содержащему отрицательных показателей степеней: a) (b⁻¹) : b⁻⁴; б) 18t⁻⁹ : (4/9)t⁻⁸.

Задание 1. Вычисление степеней

а) 8⁻²

Чтобы вычислить 8⁻², нужно вспомнить правило отрицательной степени: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \).

\( 8^{-2} = \frac{1}{8^2} = \frac{1}{64} \)

б) 16 ⋅ 2⁻⁵

Сначала представим 16 как степень двойки: \( 16 = 2^4 \).

Теперь используем правило умножения степеней с одинаковым основанием: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).

\( 16 \cdot 2^{-5} = 2^4 \cdot 2^{-5} = 2^{4 + (-5)} = 2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2} \)

в) (64 ⋅ 4⁻⁴)⁻²

Представим 64 как степень четверки: \( 64 = 4^3 \).

\( (64 \cdot 4^{-4})^{-2} = (4^3 \cdot 4^{-4})^{-2} \)

Сначала сложим степени внутри скобок: \( 4^{3 + (-4)} = 4^{-1} \).

Теперь возведем результат в степень -2: \( (4^{-1})^{-2} = 4^{(-1) \cdot (-2)} = 4^2 = 16 \)

г) 7⁻⁷ / (7⁴ ⋅ 7⁻⁹)

Сначала упростим знаменатель, используя правило умножения степеней: \( 7^4 \cdot 7^{-9} = 7^{4 + (-9)} = 7^{-5} \).

Теперь разделим степени с одинаковым основанием, используя правило: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

\( \frac{7^{-7}}{7^{-5}} = 7^{-7 - (-5)} = 7^{-7 + 5} = 7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49} \)

Ответ: а) 1/64; б) 1/2; в) 16; г) 1/49.

Задание 2. Упрощение выражений

а) (b⁻¹) : b⁻⁴

При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

\( (b^{-1}) : b^{-4} = b^{-1 - (-4)} = b^{-1 + 4} = b^3 \)

б) 18t⁻⁹ : (4/9)t⁻⁸

Разделим числовые коэффициенты и степени переменной отдельно.

Числовые коэффициенты: \( 18 : \frac{4}{9} = 18 \cdot \frac{9}{4} = \frac{18 \cdot 9}{4} = \frac{9 \cdot 9}{2} = \frac{81}{2} \).

Степени переменной \( t \): \( t^{-9} : t^{-8} = t^{-9 - (-8)} = t^{-9 + 8} = t^{-1} \).

Объединим результаты: \( \frac{81}{2} t^{-1} \).

Приведем к виду без отрицательных показателей степени: \( \frac{81}{2t} \).

Ответ: а) b³; б) 81/(2t).