№ 1. Вычислите: а) \(2\frac{1}{2}+1\frac{1}{3}\), б) \(4-2\frac{4}{7}\), в) \(2,5+1\frac{2}{3}-3\frac{1}{6}\), г) \(3\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{8} \cdot 2\frac{2}{3}\), д) \(1\frac{3}{7}:10\), е) \(\frac{8}{9}:\frac{16}{27}\), ж) \(2\frac{2}{3}:\frac{8}{9}\), з) \(\left(1\frac{17}{25}-2\frac{7}{7}\right) \cdot 2\frac{7}{9}\)

Решение:

а) \(2\frac{1}{2}+1\frac{1}{3}\)

1. Переведем смешанные числа в неправильные дроби: \(2\frac{1}{2} = \frac{2\cdot2+1}{2} = \frac{5}{2}\), \(1\frac{1}{3} = \frac{1\cdot3+1}{3} = \frac{4}{3}\).
2. Приведем дроби к общему знаменателю (6): \(\frac{5}{2} = \frac{5\cdot3}{2\cdot3} = \frac{15}{6}\), \(\frac{4}{3} = \frac{4\cdot2}{3\cdot2} = \frac{8}{6}\).
3. Сложим дроби: \(\frac{15}{6} + \frac{8}{6} = \frac{15+8}{6} = \frac{23}{6}\).
4. Переведем неправильную дробь в смешанное число: \(\frac{23}{6} = 3\frac{5}{6}\).

б) \(4-2\frac{4}{7}\)

1. Переведем смешанное число в неправильную дробь: \(2\frac{4}{7} = \frac{2\cdot7+4}{7} = \frac{18}{7}\).
2. Представим целое число 4 как дробь с знаменателем 7: \(4 = \frac{4\cdot7}{7} = \frac{28}{7}\).
3. Вычтем дроби: \(\frac{28}{7} - \frac{18}{7} = \frac{28-18}{7} = \frac{10}{7}\).
4. Переведем неправильную дробь в смешанное число: \(\frac{10}{7} = 1\frac{3}{7}\).

в) \(2,5+1\frac{2}{3}-3\frac{1}{6}\)

1. Переведем десятичную дробь в обыкновенную: \(2,5 = 2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}\).
2. Переведем смешанные числа в неправильные дроби: \(1\frac{2}{3} = \frac{1\cdot3+2}{3} = \frac{5}{3}\), \(3\frac{1}{6} = \frac{3\cdot6+1}{6} = \frac{19}{6}\).
3. Приведем все дроби к общему знаменателю (6): \(\frac{5}{2} = \frac{5\cdot3}{2\cdot3} = \frac{15}{6}\), \(\frac{5}{3} = \frac{5\cdot2}{3\cdot2} = \frac{10}{6}\), \(\frac{19}{6}\).
4. Выполним действия: \(\frac{15}{6} + \frac{10}{6} - \frac{19}{6} = \frac{15+10-19}{6} = \frac{6}{6} = 1\).

г) \(3\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{8} \cdot 2\frac{2}{3}\)

1. Переведем смешанные числа в неправильные дроби: \(3\frac{3}{4} = \frac{3\cdot4+3}{4} = \frac{15}{4}\), \(2\frac{2}{3} = \frac{2\cdot3+2}{3} = \frac{8}{3}\).
2. Запишем все умножение: \(\frac{15}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3}\).
3. Сократим дроби: \(\frac{15}{4} \cdot \frac{5}{\cancel{6}^2} \cdot \frac{\cancel{3}}{8} \cdot \frac{\cancel{8}}{\cancel{3}} = \frac{15}{4} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{8}{1} = \frac{15}{4} \cdot \frac{5}{2}\).
4. Выполним умножение: \(\frac{15}{4} \cdot \frac{5}{2} = \frac{15\cdot5}{4\cdot2} = \frac{75}{8}\).
5. Переведем неправильную дробь в смешанное число: \(\frac{75}{8} = 9\frac{3}{8}\).

д) \(1\frac{3}{7}:10\)

1. Переведем смешанное число в неправильную дробь: \(1\frac{3}{7} = \frac{1\cdot7+3}{7} = \frac{10}{7}\).
2. Деление на число заменим умножением на обратное число: \(\frac{10}{7} : 10 = \frac{10}{7} \cdot \frac{1}{10}\).
3. Сократим дроби: \(\frac{\cancel{10}}{7} \cdot \frac{1}{\cancel{10}} = \frac{1}{7}\).

е) \(\frac{8}{9}:\frac{16}{27}\)

1. Деление заменим умножением на обратное число: \(\frac{8}{9} \cdot \frac{27}{16}\).
2. Сократим дроби: \(\frac{\cancel{8}}{9} \cdot \frac{\cancel{27}^3}{\cancel{16}_2} = \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}\).
3. Переведем неправильную дробь в смешанное число: \(\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}\).

ж) \(2\frac{2}{3}:\frac{8}{9}\)

1. Переведем смешанное число в неправильную дробь: \(2\frac{2}{3} = \frac{2\cdot3+2}{3} = \frac{8}{3}\).
2. Деление заменим умножением на обратное число: \(\frac{8}{3} \cdot \frac{9}{8}\).
3. Сократим дроби: \(\frac{\cancel{8}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{9}^3}{\cancel{8}} = 1 \cdot 3 = 3\).

з) \(\left(1\frac{17}{25}-2\frac{7}{7}\right) \cdot 2\frac{7}{9}\)

1. Упростим второе смешанное число: \(2\frac{7}{7} = 2+1 = 3\).
2. Переведем смешанные числа в неправильные дроби: \(1\frac{17}{25} = \frac{1\cdot25+17}{25} = \frac{42}{25}\), \(2\frac{7}{9} = \frac{2\cdot9+7}{9} = \frac{25}{9}\).
3. Выполним вычитание в скобках: \(\frac{42}{25} - 3 = \frac{42}{25} - \frac{3\cdot25}{25} = \frac{42-75}{25} = \frac{-33}{25}\).
4. Выполним умножение: \(\frac{-33}{25} \cdot \frac{25}{9}\).
5. Сократим дроби: \(\frac{-33}{\cancel{25}} \cdot \frac{\cancel{25}}{9} = \frac{-33}{9}\).
6. Сократим дробь на 3: \(\frac{-33}{9} = \frac{-11}{3}\).
7. Переведем неправильную дробь в смешанное число: \(\frac{-11}{3} = -3\frac{2}{3}\).

Ответ: а) \(3\frac{5}{6}\), б) \(1\frac{3}{7}\), в) \(1\), г) \(9\frac{3}{8}\), д) \(\frac{1}{7}\), е) \(1\frac{1}{2}\), ж) \(3\), з) \(-3\frac{2}{3}\).