1. Вычислить: \(\int (5x^5 - \cos x - 1) dx\) 4-5 баллов \(\int (\sqrt{x} - 2x + \sqrt[3]{x}) dx\) 2. Решить уравнение: 3 балла \(\log_4 (2x + 3) = 3\) 4 балла \(\log_{\frac{1}{4}} (7x - 5) = -2\) 5 баллов \(\log_7 (x^2 - 3x + 3) = 0\) 3. Решить неравенство: 3 балла \(4^{4x+3} > \left(\frac{1}{64}\right)^{x+1}\) 4 балла \(2^{x^2} \le 4 \cdot 2^x\)

1. Вычислить:

1. \(\int (5x^5 - \cos x - 1) dx\)

Для вычисления интеграла воспользуемся свойствами линейности интеграла и табличными значениями:

\( \int (5x^5 - \cos x - 1) dx = 5 \int x^5 dx - \int \cos x dx - \int 1 dx \)

Применяем формулы интеграции: \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) и \( \int \cos x dx = \sin x + C \).

\( 5 \frac{x^{5+1}}{5+1} - \sin x - x + C = 5 \frac{x^6}{6} - \sin x - x + C \)

Ответ: \( \frac{5}{6}x^6 - \sin x - x + C \).

2. \(\int (\sqrt{x} - 2x + \sqrt[3]{x}) dx\)

Преобразуем корни в степени:

\( \sqrt{x} = x^{1/2} \)

\( \sqrt[3]{x} = x^{1/3} \)

Теперь вычислим интеграл:

\( \int (x^{1/2} - 2x + x^{1/3}) dx = \int x^{1/2} dx - 2 \int x dx + \int x^{1/3} dx \)

Применяем формулу \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \):

\( \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - 2 \frac{x^{1+1}}{1+1} + \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} - 2 \frac{x^2}{2} + \frac{x^{4/3}}{4/3} + C \)

Упрощаем:

\( \frac{2}{3}x^{3/2} - x^2 + \frac{3}{4}x^{4/3} + C \)

Ответ: \( \frac{2}{3}x\sqrt{x} - x^2 + \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x^2} + C \).

2. Решить уравнение:

1. \(\log_4 (2x + 3) = 3\)

По определению логарифма:

\( 2x + 3 = 4^3 \)

\( 2x + 3 = 64 \)

\( 2x = 64 - 3 \)

\( 2x = 61 \)

\( x = \frac{61}{2} \)

Проверка области определения: \( 2x + 3 > 0 \) => \( 2(\frac{61}{2}) + 3 = 61 + 3 = 64 > 0 \). Решение подходит.

Ответ: \( x = \frac{61}{2} \).

2. \(\log_{\frac{1}{4}} (7x - 5) = -2\)

По определению логарифма:

\( 7x - 5 = \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} \)

\( 7x - 5 = 4^2 \)

\( 7x - 5 = 16 \)

\( 7x = 16 + 5 \)

\( 7x = 21 \)

\( x = \frac{21}{7} \)

\( x = 3 \)

Проверка области определения: \( 7x - 5 > 0 \) => \( 7(3) - 5 = 21 - 5 = 16 > 0 \). Решение подходит.

Ответ: \( x = 3 \).

3. \(\log_7 (x^2 - 3x + 3) = 0\)

По определению логарифма:

\( x^2 - 3x + 3 = 7^0 \)

\( x^2 - 3x + 3 = 1 \)

\( x^2 - 3x + 3 - 1 = 0 \)

\( x^2 - 3x + 2 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \).

\( x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3+1}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3-1}{2} = 1 \)

Проверка области определения: \( x^2 - 3x + 3 > 0 \).

Для \( x = 2 \): \( 2^2 - 3(2) + 3 = 4 - 6 + 3 = 1 > 0 \). Подходит.

Для \( x = 1 \): \( 1^2 - 3(1) + 3 = 1 - 3 + 3 = 1 > 0 \). Подходит.

Ответ: \( x = 1, x = 2 \).

3. Решить неравенство:

1. \(4^{4x+3} > \left(\frac{1}{64}\right)^{x+1}\)

Приведём обе части неравенства к одному основанию. Основание 4:

\( 64 = 4^3 \)

\( \frac{1}{64} = \frac{1}{4^3} = 4^{-3} \)

Теперь подставим это в неравенство:

\( 4^{4x+3} > (4^{-3})^{x+1} \)

\( 4^{4x+3} > 4^{-3(x+1)} \)

\( 4^{4x+3} > 4^{-3x-3} \)

Так как основание \( 4 > 1 \), показатели степеней можно сравнить:

\( 4x + 3 > -3x - 3 \)

\( 4x + 3x > -3 - 3 \)

\( 7x > -6 \)

\( x > -\frac{6}{7} \)

Ответ: \( x > -\frac{6}{7} \).

2. \(2^{x^2} \le 4 \cdot 2^x\)

Приведём правую часть к основанию 2:

\( 4 = 2^2 \)

\( 2^{x^2} \le 2^2 \cdot 2^x \)

\( 2^{x^2} \le 2^{2+x} \)

Так как основание \( 2 > 1 \), показатели степеней можно сравнить:

\( x^2 \le 2 + x \)

\( x^2 - x - 2 \le 0 \)

Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения \( x^2 - x - 2 = 0 \):

\( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \)

\( x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1+3}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1-3}{2} = -1 \)

Парабола \( y = x^2 - x - 2 \) ветвями вверх. Неравенство \( x^2 - x - 2 \le 0 \) выполняется между корнями, включая корни.

\( -1 \le x \le 2 \)

Ответ: \( [-1; 2] \).