1. Вписанный в окружность четырёхугольник EFGH задан так, что угол Е относится к углу G как 3:5, а угол Ғ на 30° меньше угла Н. Найдите величину углов G и Н.

Привет! Давай разберем эту задачу по геометрии.

Условие:

• Четырёхугольник EFGH вписан в окружность.
• \[ \angle E : \angle G = 3:5 \]
• \[ \angle F = \angle H - 30^{\circ} \]
• Нужно найти углы G и H.

Решение:

1. Свойство вписанного четырёхугольника: Сумма противоположных углов равна 180°.
2. Запишем уравнения:
   • \[ \angle E + \angle G = 180^{\circ} \]
   • \[ \angle F + \angle H = 180^{\circ} \]
3. Выразим углы через одну переменную:
   • Пусть \( \angle E = 3x \), тогда \( \angle G = 5x \).
   • Подставим в первое уравнение: \( 3x + 5x = 180^{\circ} \)
   • \[ 8x = 180^{\circ} \]
   • \[ x = \frac{180^{\circ}}{8} = 22.5^{\circ} \]
   • Теперь найдём углы E и G:
   • \[ \angle E = 3 \times 22.5^{\circ} = 67.5^{\circ} \]
   • \[ \angle G = 5 \times 22.5^{\circ} = 112.5^{\circ} \]
   • Из второго уравнения: \( \angle F = \angle H - 30^{\circ} \).
   • Подставим: \( (\angle H - 30^{\circ}) + \angle H = 180^{\circ} \)
   • \[ 2\angle H - 30^{\circ} = 180^{\circ} \]
   • \[ 2\angle H = 210^{\circ} \]
   • \[ \angle H = \frac{210^{\circ}}{2} = 105^{\circ} \]
   • Тогда \( \angle F = 105^{\circ} - 30^{\circ} = 75^{\circ} \).
   • Проверим: \( \angle E + \angle G = 67.5^{\circ} + 112.5^{\circ} = 180^{\circ} \)
   • \[ \angle F + \angle H = 75^{\circ} + 105^{\circ} = 180^{\circ} \]

Ответ: Угол G равен 112.5°, Угол H равен 105°.