1. Вершины ∆ АВС лежат на окружности с центром О, <АОВ=80°,AC:BC=2:3. Найдите углы Д АВС. 2. Хорды М№ и KL окружности пересекаются в точке А, причем M№ делится точкой А на отрезки, равные 10см и 6см. На какие отрезки точка А делит KL, если KL больше М№ на 3см. 2 вариант 1. Вершины ∆ АВС лежат на окружности с центром О, <АВС=80°,BC: AB=3:2. Найдите углы А ОАВ. 2. Хорды М№ и KL окружности пересекаются в точке А, причем М№ делится точкой А на отрезки, равные 1см и 15см. На какие отрезки точка А делит KL, если KL в два раза меньше М№.

Задание 1. Вариант 1

1. Найдем углы треугольника АВС.

• Центральный угол <АОВ равен 80°, значит, вписанный угол
• Соотношение дуг AC и BC: Дуги относятся так же, как и хорды, стягивающие эти дуги. Следовательно, дуга AC : дуга BC = 2:3.
• Пусть дуга AC = 2x, а дуга BC = 3x. Полная окружность равна 360°.
• Угол
• Поскольку
• 80° = 360° - 5x
• 5x = 360° - 80° = 280°
• x = 280° / 5 = 56°.
• Теперь найдем дуги:
• Дуга AC = 2x = 2 * 56° = 112°.
• Дуга BC = 3x = 3 * 56° = 168°.
• Найдем вписанные углы:

Ответ: Углы треугольника АВС равны 84°, 56°, 40°.

2. Деление хорды KL.

• Пересекающиеся хорды MN и KL делятся в точке пересечения A. По свойству пересекающихся хорд произведение отрезков каждой хорды равно: AM * AN = AK * AL.
• Из условия известно, что хорда MN делится точкой A на отрезки AM = 10 см и AN = 6 см.
• Произведение отрезков хорды MN: AM * AN = 10 см * 6 см = 60 см².
• Длина хорды KL больше MN на 3 см. Длина MN = AM + AN = 10 + 6 = 16 см.
• Длина хорды KL = 16 см + 3 см = 19 см.
• Пусть точка A делит хорду KL на отрезки AK и AL. Тогда AK + AL = 19 см.
• Используем свойство пересекающихся хорд: AK * AL = AM * AN = 60 см².
• Теперь у нас есть система уравнений:
• 1) AK + AL = 19
• 2) AK * AL = 60
• Решим квадратное уравнение, где AK и AL — корни: t² - 19t + 60 = 0.
• Дискриминант D = (-19)² - 4 * 1 * 60 = 361 - 240 = 121.
• √D = 11.
• t₁ = (19 + 11) / 2 = 30 / 2 = 15 см.
• t₂ = (19 - 11) / 2 = 8 / 2 = 4 см.
• Таким образом, точка А делит хорду KL на отрезки длиной 15 см и 4 см.

Ответ: Точка А делит хорду KL на отрезки длиной 15 см и 4 см.

Задание 2. Вариант 2

1. Найдем углы треугольника ОАВ.

• Угол
• Соотношение сторон BC : AB = 3:2. Это означает, что отношение дуг BC и AB также равно 3:2.
• Пусть дуга BC = 3y, а дуга AB = 2y.
• Полная окружность равна 360°.
• Дуга AC + дуга BC + дуга AB = 360°.
• 160° + 3y + 2y = 360°.
• 5y = 360° - 160° = 200°.
• y = 200° / 5 = 40°.
• Найдем дуги:
• Дуга BC = 3y = 3 * 40° = 120°.
• Дуга AB = 2y = 2 * 40° = 80°.
• Найдем углы треугольника ОАВ:
• Треугольник ОАВ — равнобедренный, так как OA и OB — радиусы окружности.
• Центральный угол
• Так как
• Поскольку треугольник ОАВ равнобедренный,

Ответ: Углы треугольника ОАВ равны 80°, 50°, 50°.

2. Деление хорды KL.

• Пересекающиеся хорды MN и KL делятся в точке пересечения A. По свойству пересекающихся хорд произведение отрезков каждой хорды равно: AM * AN = AK * AL.
• Из условия известно, что хорда MN делится точкой A на отрезки AM = 1 см и AN = 15 см.
• Произведение отрезков хорды MN: AM * AN = 1 см * 15 см = 15 см².
• Длина хорды KL в два раза меньше MN. Длина MN = AM + AN = 1 + 15 = 16 см.
• Длина хорды KL = 16 см / 2 = 8 см.
• Пусть точка A делит хорду KL на отрезки AK и AL. Тогда AK + AL = 8 см.
• Используем свойство пересекающихся хорд: AK * AL = AM * AN = 15 см².
• Теперь у нас есть система уравнений:
• 1) AK + AL = 8
• 2) AK * AL = 15
• Решим квадратное уравнение, где AK и AL — корни: t² - 8t + 15 = 0.
• Дискриминант D = (-8)² - 4 * 1 * 15 = 64 - 60 = 4.
• √D = 2.
• t₁ = (8 + 2) / 2 = 10 / 2 = 5 см.
• t₂ = (8 - 2) / 2 = 6 / 2 = 3 см.
• Таким образом, точка А делит хорду KL на отрезки длиной 5 см и 3 см.

Ответ: Точка А делит хорду KL на отрезки длиной 5 см и 3 см.