1. В треугольнике CDE известно, что ∠C = 28°, ∠E = 72°. Укажите верное неравенство: 1) DE > CD; 2) CD > CE; 3) CE > DE; 4) DE > CE. 2. Докажите, что AC = BD (рис. 70), если AD = BC и ∠DAB = ∠CBA. 3. В треугольнике ABC известно, что ∠A = 70°, ∠B = 50°. Биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке М. Найдите угол АМС. 4. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 2 : 7, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 110 см. 5. Точка О – середина биссектрисы АМ треугольника ABC. На стороне АС отмечена точка D такая, что DO ⊥ АМ. Докажите, что DM ⊥ AB.

Задание 1. Неравенство сторон в треугольнике CDE

Дано:

• В треугольнике CDE: \( \angle C = 28^\circ \), \( \angle E = 72^\circ \).

Найти: верное неравенство.

Решение:

1. Найдем третий угол треугольника CDE: \( \angle D = 180^\circ - \angle C - \angle E = 180^\circ - 28^\circ - 72^\circ = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).
2. Вспомним теорему о соотношении между сторонами и углами треугольника: против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
3. Сравним углы: \( \angle C = 28^\circ \), \( \angle E = 72^\circ \), \( \angle D = 80^\circ \).
4. Наибольший угол — \( \angle D \) (80°), значит, напротив него лежит наибольшая сторона — CE.
5. Наименьший угол — \( \angle C \) (28°), значит, напротив него лежит наименьшая сторона — DE.
6. Угол \( \angle E \) (72°) средний по величине, значит, напротив него лежит средняя по длине сторона — CD.
7. Таким образом, порядок сторон: DE < CD < CE.
8. Проверим варианты:
• 1) DE > CD — неверно.
• 2) CD > CE — неверно.
• 3) CE > DE — верно (так как \( \angle D > \angle C \)).
• 4) DE > CE — неверно.

Ответ: 3) CE > DE.

Задание 2. Доказательство равенства отрезков AC и BD

Дано:

• Четырёхугольник ABCD.
• \( AD = BC \) (стороны равны).
• \( \angle DAB = \angle CBA \) (углы при основании равны).

Доказать: \( AC = BD \).

Доказательство:

Рассмотрим треугольники \( \triangle DAB \) и \( \triangle CBA \).

У них:

1. AD = BC (по условию).
2. \( \angle DAB = \angle CBA \) (по условию).
3. AB = BA (общая сторона).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( \triangle DAB = \triangle CBA \).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: DB = CA, что и требовалось доказать.

Рис. 70

Ч.т.д.

Задание 3. Угол АМС

Дано:

• В \( \triangle ABC \): \( \angle A = 70^\circ \), \( \angle B = 50^\circ \).
• AM — биссектриса \( \angle A \).
• M лежит на BC.

Найти: \( \angle AMC \).

Решение:

1. Найдем \( \angle C \) в \( \triangle ABC \): \[ \(\angle\) C = 180^\(\circ\) - \(\angle\) A - \(\angle\) B = 180^\(\circ\) - 70^\(\circ\) - 50^\(\circ\) = 180^\(\circ\) - 120^\(\circ\) = 60^\(\circ\) \).
2. Так как AM — биссектриса \( \angle A \), то она делит угол пополам: \[ \(\angle\) BAM = \(\angle\) CAM = \(\frac{\angle A}{2}\) = \(\frac{70^\circ}{2}\) = 35^\(\circ\) \).
3. Рассмотрим \( \triangle AMC \). Сумма углов в нем равна 180°.
4. Известны \( \angle CAM = 35^\circ \) и \( \angle C = 60^\circ \).
5. Найдем \( \angle AMC \): \[ \(\angle\) AMC = 180^\(\circ\) - \(\angle\) CAM - \(\angle\) C = 180^\(\circ\) - 35^\(\circ\) - 60^\(\circ\) = 180^\(\circ\) - 95^\(\circ\) = 85^\(\circ\) \).

Ответ: 85°.

Задание 4. Стороны равнобедренного треугольника

Дано:

• Равнобедренный \( \triangle ABC \) (AB = BC).
• Точка касания вписанной окружности делит боковую сторону AB в отношении 2:7, считая от вершины угла при основании (A).
• Периметр \( P = 110 \) см.

Найти: стороны AB, BC, AC.

Решение:

1. Обозначим точку касания вписанной окружности на боковой стороне AB как K.
2. По условию, точка K делит сторону AB в отношении 2:7, считая от вершины A. Это значит, что AK : KB = 2 : 7.
3. Пусть \( AK = 2x \) и \( KB = 7x \). Тогда вся боковая сторона \( AB = AK + KB = 2x + 7x = 9x \).
4. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, значит, \( AB = BC = 9x \).
5. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны отрезки от вершины до точек касания. Обозначим точки касания на AC и BC как L и N соответственно.
6. Тогда \( AK = AL = 2x \).
7. \( KB = BN = 7x \).
8. \( BC = BN + NC = 7x + NC \).
9. Но мы знаем, что \( BC = 9x \), следовательно, \( 9x = 7x + NC \), откуда \( NC = 2x \).
10. Так как \( AL = 2x \) и \( NC = 2x \), то основание \( AC = AL + LC \).
11. В равнобедренном треугольнике, проведенная из вершины угла при основании, биссектриса (и медиана, и высота) делит основание пополам. Точка касания L на AC делит ее.
12. Важно: точка касания вписанной окружности на основании равнобедренного треугольника делит его пополам, если окружность касается основания.
13. Но точка касания на боковой стороне делится в отношении 2:7.
14. У нас \( AK = 2x \) и \( KB = 7x \), следовательно \( AB = 9x \). \( BC = 9x \).
15. \( AL = AK = 2x \).
16. \( BN = BK = 7x \).
17. \( BC = BN + NC \) => \( 9x = 7x + NC \) => \( NC = 2x \).
18. Основание \( AC = AL + LC \).
19. Так как \( LC = NC \) (отрезки касательных из точки C), то \( LC = 2x \).
20. Таким образом, \( AC = AL + LC = 2x + 2x = 4x \).
21. Периметр треугольника \( P = AB + BC + AC \).
22. Подставим значения: \( 110 = 9x + 9x + 4x \)
23. \( 110 = 22x \)
24. \( x = \frac{110}{22} = 5 \).
25. Теперь найдем стороны:
• AB = \( 9x = 9 \times 5 = 45 \) см.
• BC = \( 9x = 9 \times 5 = 45 \) см.
• AC = \( 4x = 4 \times 5 = 20 \) см.

Ответ: Стороны треугольника равны 45 см, 45 см и 20 см.

Задание 5. Доказательство перпендикулярности DM и AB

Дано:

• \( \triangle ABC \).
• AM — биссектриса \( \angle A \).
• O — середина AM.
• D — точка на AC.
• \( DO ⊥ AM \).

Доказать: \( DM ⊥ AB \).

Доказательство:

Построим вспомогательные линии и рассмотрим свойства фигур.

1. Поскольку \( DO ⊥ AM \) и O — середина AM, то отрезок DO является перпендикуляром, проведенным из середины отрезка AM. Рассмотрим треугольник \( \triangle ADM \).

2. В \( \triangle ADM \), отрезок DO является высотой (так как \( DO ⊥ AM \)) и выходит из середины стороны AM. Если в треугольнике медиана совпадает с высотой, то треугольник равнобедренный.

3. Следовательно, \( \triangle ADM \) — равнобедренный с основанием AM, то есть \( AD = DM \).

4. Теперь рассмотрим углы. Поскольку \( \triangle ADM \) равнобедренный, то углы при основании равны: \( \angle DAM = \angle DMA \).

5. AM — биссектриса \( \angle A \), значит \( \angle DAM = \angle MAB \).

6. Из равенств \( \angle DAM = \angle DMA \) и \( \angle DAM = \angle MAB \) следует, что \( \angle DMA = \angle MAB \).

7. Углы \( \angle DMA \) и \( \angle MAB \) являются накрест лежащими при пересечении прямых DM и AB секущей AM.

8. Поскольку накрест лежащие углы равны (\( \angle DMA = \angle MAB \)), то прямые DM и AB параллельны: \( DM ∥ AB \).

9. Так как \( DM ∥ AB \), и AM — секущая, то \( DM ⊥ AB \) не следует напрямую. Нужно доказать именно перпендикулярность.

Пересмотрим ход доказательства:

1. Рассмотрим \( \triangle ADM \). O — середина AM. DO ⊥ AM. Это означает, что DO является высотой, проведенной из вершины D. Так как O — середина AM, DO также является медианой. Медиана, совпадающая с высотой, означает, что \( \triangle ADM \) — равнобедренный с основанием AM. Следовательно, \( AD = DM \) и \( \angle DAM = \angle DMA \).

2. AM — биссектриса \( \angle A \) по условию. Значит, \( \angle DAM = \angle MAB \).

3. Из равенства \( DAM = DMA  и DAM = MAB  следует, что DMA = MAB .

4. Углы \( \angle DMA \) и \( \angle MAB \) являются накрест лежащими при пересечении прямых DM и AB секущей AM.

5. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны: \( DM ∥ AB \).

6. Чтобы доказать \( DM ⊥ AB \), нам нужно показать, что один из углов между ними равен 90 градусов. В данном случае, если \( DM ∥ AB \), то \( \angle DMA = \angle MAB \). Но это не значит, что они перпендикулярны.

В условии ошибка или неточность?

Если \( DO ⊥ AM \), и O — середина AM, то DO является осью симметрии для отрезка AM. Это значит, что любая точка на DO равноудалена от A и M.

Рассмотрим прямую, проходящую через D и O. Она перпендикулярна AM. То есть, она параллельна AB, если AM является биссектрисой в равнобедренном треугольнике, где AB=AC. Но это не дано.

Попробуем иначе:

1. Построим прямую, проходящую через D параллельно AB. Пусть она пересекает AM в точке P.

2. Если \( DP ∥ AB \), то \( ADP = BAC \) (соответственные углы при секущей AC).

3. \( DAP = BAC \) (так как AM — биссектриса).

4. Это означает, что \( \triangle ADP \) — равнобедренный, \( AD = DP \).

5. Теперь рассмотрим \( \triangle ADM \). O — середина AM, \( DO ⊥ AM \). Это значит, что DO — серединный перпендикуляр к AM. Следовательно, любая точка на DO равноудалена от A и M, то есть \( AD = DM \).

6. Из \( AD = DP \) и \( AD = DM \), следует, что \( DP = DM \).

7. Теперь нам нужно показать, что \( DM ⊥ AB \). Мы знаем, что \( DP ∥ AB \). Если \( DP = DM \), это не гарантирует перпендикулярность.

Возможно, имеется в виду, что прямая DO перпендикулярна AM, а не отрезок.

1. Пусть линия, проходящая через D и O, перпендикулярна AM. O — середина AM.

2. В \( \triangle ADM \), если провести серединный перпендикуляр к AM, то он будет проходить через D. Это значит, что \( AD = DM \).

3. Так как AM — биссектриса \( \angle A \), то \( \angle DAM = \angle MAB \).

4. Из \( AD = DM \) следует, что \( \triangle ADM \) равнобедренный, следовательно, \( \angle DAM = \angle DMA \).

5. Из \( \angle DAM = \angle MAB \) и \( \angle DAM = \angle DMA \) следует, что \( \angle DMA = \angle MAB \).

6. Эти углы являются накрест лежащими при прямых DM и AB и секущей AM.

7. Так как накрест лежащие углы равны, то \( DM ∥ AB \).

8. Чтобы доказать перпендикулярность, нам нужно, чтобы \( DMA = 90^. Если \( DMA = 90^, то и \( MAB = 90^, что невозможно в треугольнике ABC, если A не прямой угол.

Похоже, в условии была ошибка, и должно быть доказательство параллельности DM || AB.

Однако, если принять условие как есть и доказать перпендикулярность DM и AB, то нам нужно, чтобы угол между ними был 90 градусов.

Предположим, что условие верно и решение существует.

1. Пусть M — середина AM. DO ⊥ AM. Это означает, что D лежит на серединном перпендикуляре к AM.

2. Следовательно, \( AD = DM \).

3. AM — биссектриса \( \angle A \), значит \( \angle DAM = \angle MAB \).

4. Из \( AD = DM \) следует, что \( \triangle ADM \) равнобедренный, значит \( \angle DAM = \angle DMA \).

5. Из \( DAM = MAB  и DAM = DMA  следует, что DMA = MAB .

6. Углы \( DMA  и \( MAB  — накрест лежащие при прямых DM и AB и секущей AM. Их равенство означает, что \( DM ∥ AB \).

7. Если бы DM было перпендикулярно AB, то \( DMB = 90^. Или \( DMA + AMB = 90^.

Переформулируем:

1. Рассмотрим \( \triangle ADM \). O — середина AM, \( DO ⊥ AM \). Это означает, что D лежит на серединном перпендикуляре к AM. Следовательно, \( AD = DM \).

2. Поскольку \( AD = DM \), \( \triangle ADM \) — равнобедренный. Значит, \( \angle DAM = \angle DMA \).

3. AM — биссектриса \( \angle A \) по условию, поэтому \( \angle DAM = \angle MAB \).

4. Из равенств \( \angle DAM = \angle DMA \) и \( \angle DAM = \angle MAB \) следует, что \( \angle DMA = \angle MAB \).

5. Углы \( \angle DMA \) и \( \angle MAB \) являются накрест лежащими при прямых DM и AB и секущей AM.

6. Равенство накрест лежащих углов означает, что прямые DM и AB параллельны: \( DM ∥ AB \).

Вывод:

Условие задачи, требующее доказать перпендикулярность \( DM ⊥ AB \) при данных условиях, некорректно. Однако, можно доказать, что \( DM ∥ AB \).

Предположим, что задача имела в виду доказать параллельность.

Доказано, что DM || AB.

Если все же нужно доказать перпендикулярность, то это возможно только при частном случае, когда \( BAC = 90^ и AM является биссектрисой, и D находится в определенной позиции. Но это не дано в общем виде.

Исходя из стандартных геометрических задач, скорее всего, имелась в виду параллельность.

Если же нужно строго доказать перпендикулярность, то это невозможно без дополнительных условий.