1. В треугольнике ABC внешние углы при вершинах A и C равны. Найдите длину биссектрисы BD, если периметр треугольника ABC равен 72 см, а периметр треугольника ABD равен 48 см.

Так как внешние углы при вершинах A и C равны, то равны и соответствующие внутренние углы: \(\angle A=\angle C\). Следовательно, треугольник ABC равнобедренный, и \(AB=BC\).

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию AC, является также медианой. Поэтому \(AD=\frac{AC}{2}\).

Обозначим \(AB=BC=x\), \(AC=y\). Тогда из периметра треугольника ABC:

\[2x+y=72.\]

Отсюда:

\[x+\frac y2=36.\]

Периметр треугольника ABD равен:

\[AB+AD+BD=x+\frac y2+BD=48.\]

Подставим найденное значение:

\[36+BD=48,\]

\[BD=12\text{ см}.\]

Ответ: 12 см.