1. В тетраэдре ABCD точки M, P, K – соответственно середины ребер AD, CD, BD. Укажите верные утверждения: а) прямая MK параллельна плоскости ABC б) прямые MD и BC - скрещивающиеся в) плоскость MPK параллельна плоскости BCD

Решение:

В тетраэдре ABCD точки M, P, K – середины ребер AD, CD, BD соответственно.

• а) прямая MK параллельна плоскости ABC – неверно. MK соединяет середины ребер AD и CD. По теореме о средней линии треугольника BCD, MK || BC. Так как BC лежит в плоскости ABC, а MK не лежит в этой плоскости, то MK не параллельна плоскости ABC.
• б) прямые MD и BC - скрещивающиеся – верно. MD является частью ребра AD, а BC — это ребро основания. В тетраэдре AD и BC не лежат в одной плоскости и не параллельны, следовательно, они скрещивающиеся.
• в) плоскость MPK параллельна плоскости BCD – верно. MP соединяет середины ребер AD и CD, следовательно, MP || AC. PK соединяет середины ребер CD и BD, следовательно, PK || BC. MK соединяет середины ребер AD и BD, следовательно, MK || AB. Так как MP || AC и PK || BC, то плоскость MPK не параллельна плоскости BCD. Однако, MK || AB и PK || BC, MP || AC. В плоскости BCD есть прямые BC и CD, которые пересекаются. В плоскости MPK есть прямые MK (параллельная AB) и PK (параллельная BC). Плоскость MPK параллельна плоскости ABC. Проверим еще раз: MP || AC, PK || BC, MK || AB. Тогда плоскость MPK параллельна плоскости ABC, а не BCD. Утверждение в) неверно.

Ответ: б).