1. В ромбе ABCD \(|\overrightarrow{AC}|=6\), \(|\overrightarrow{BD}|=8\). От вершин C и D отложены векторы \(\overrightarrow{CM}\) и \(\overrightarrow{DN}\), равные \(\overrightarrow{DB}\) и \(\overrightarrow{CA}\) соответственно. Найдите длину вектора \(\overrightarrow{MN}\).

Обозначим радиус-векторы точек их прописными буквами. По условию:

\(\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{DB}\), поэтому \(M=C+B-D\).

\(\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{CA}\), поэтому \(N=D+A-C\).

Так как ABCD — параллелограмм, то \(A+B=C+D\). Следовательно,

\[\overrightarrow{MN}=N-M=(D+A-C)-(C+B-D)=A+B+2D-2C=3(D-C).\]

Значит, \(|\overrightarrow{MN}|=3|\overrightarrow{CD}|\).

Найдём сторону ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому половины диагоналей равны 3 и 4. Тогда

\[|CD|=\sqrt{3^2+4^2}=5.\]

Следовательно,

\[|\overrightarrow{MN}|=3\cdot5=15.\]

Ответ: 15.