1. В ромбе ABCD |AC| = 6, |BD| = 8. От вершин C и D отложены векторы CM и DN, равные DB и CA соответственно. Найдите длину вектора MN.

По условию \(\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{DB}\), поэтому \(M=C+\overrightarrow{DB}\). Аналогично, \(N=D+\overrightarrow{CA}\).

В ромбе диагонали пересекаются и делятся пополам. Обозначим через \(O\) точку их пересечения. Тогда:

• \(\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{OB}\);
• \(\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{OC}\).

Так как диагонали ромба перпендикулярны, удобно выразить положения точек через половины диагоналей. Получаем:

\(\overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{AC}\).

Следовательно,

\(|\overrightarrow{MN}|=3|\overrightarrow{AC}|=3\cdot6=18\).

Ответ: 18.