1. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагональ АС является биссектрисой угла А, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 6√2.

1. Так как АС - биссектриса угла А, то ∠BAC = ∠CAD = 45°.

2. В прямоугольной трапеции ABCD, AD || BC, значит ∠ACB = ∠CAD = 45° (как накрест лежащие).

3. В треугольнике АВС: ∠BAC = 45°, ∠B = 90°, ∠ACB = 45°. Следовательно, треугольник АВС равнобедренный, АВ = ВС = 6√2.

4. В прямоугольном треугольнике ABD: AB = 6√2, ∠A = 45°. Следовательно, треугольник ABD равнобедренный, AB = AD = 6√2.

5. В прямоугольном треугольнике ABD: BD² = AB² + AD² = (6√2)² + (6√2)² = 72 + 72 = 144. BD = √144 = 12.