1. В прямоугольном треугольнике DCE с прямым углом С проведена биссектриса EF, причём FC = 13 см. Найдите расстояние от точки F до прямой DE.

Решение:

1. Построим чертеж прямоугольного треугольника DCE, где угол C прямой (\( \angle C = 90^\circ \)).
2. Проведем биссектрису EF, где E лежит на стороне DC, а F — на стороне DE.
3. Так как EF — биссектриса угла \( \angle DCE \), то \( \angle CEF = \angle DEF = \frac{\angle DCE}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ \).
4. Рассмотрим треугольник EFC. У него \( \angle C = 90^\circ \) и \( \angle CEF = 45^\circ \). Следовательно, \( \angle EFC = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).
5. Треугольник EFC является равнобедренным, так как \( \angle CEF = \angle EFC = 45^\circ \). Значит, EC = FC.
6. Нам дано, что FC = 13 см. Следовательно, EC = 13 см.
7. Расстояние от точки F до прямой DE — это длина перпендикуляра, опущенного из точки F на прямую DE. В прямоугольном треугольнике DCE, отрезок EF является биссектрисой. Одно из свойств биссектрисы — любая точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла.
8. Поскольку EF — биссектриса угла \( \angle DCE \), то расстояние от точки F до стороны EC (прямой DC) равно расстоянию от точки F до стороны DE.
9. Мы нашли, что EC = 13 см. Расстояние от точки F до прямой DC равно длине перпендикуляра из F на DC, которая равна FC, так как \( \angle C = 90^\circ \).
10. Таким образом, расстояние от точки F до прямой DE равно FC, которое составляет 13 см.

Ответ: 13 см.