1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB = 16, AD = 21, AA₁ = 28. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки А, В и С₁.

Решение:

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.

Известны длины рёбер: \( AB = 16 \), \( AD = 21 \), \( AA₁ = 28 \).

Необходимо найти площадь сечения плоскостью, проходящей через точки А, В и С₁.

Сечение, проходящее через точки А, В и С₁, является прямоугольником ABС₁D₁.

В прямоугольном параллелепипеде рёбра, выходящие из одной вершины, перпендикулярны друг другу.

Площадь сечения ABС₁D₁ равна произведению длин сторон AB и BC₁.

Сторона AB равна известному ребру \( AB = 16 \).

Сторона BC₁ является диагональю грани BB₁C₁C. Так как грань является прямоугольником, то по теореме Пифагора:

\[ BC₁² = BB₁² + B₁C₁² \]

В прямоугольном параллелепипеде \( BB₁ = AA₁ = 28 \) и \( B₁C₁ = AD = 21 \).

\[ BC₁² = 28² + 21² = 784 + 441 = 1225 \]

\[ BC₁ = \sqrt{1225} = 35 \]

Площадь сечения ABС₁D₁ равна:

\[ S_{ABС₁D₁} = AB \cdot BC₁ = 16 \cdot 35 \]

\[ 16 \cdot 35 = 16 \cdot (30 + 5) = 16 \cdot 30 + 16 \cdot 5 = 480 + 80 = 560 \]

Ответ: Площадь сечения равна 560.