1. В некоторой стране а) 6; б) 20 городов, любые два из которых соединены дорогой. Сколько всего дорог в этой стране? в) Докажите, что если число городов равно n, то дорог \(\frac{n(n-1)}{2}\).

Каждая дорога соединяет пару городов. Поэтому нужно найти число пар городов.

а) Из 6 городов можно выбрать пары следующим образом: первый город соединяется с 5 другими, второй — с 4 ещё не учтёнными, и так далее:

\(5+4+3+2+1=15\).

б) Для 20 городов:

\(19+18+17+\dots+2+1=\frac{20\cdot19}{2}=190\).

в) Пусть в стране \(n\) городов. Первый город соединён с \(n-1\) городами, второй — с \(n-2\) новыми городами, третий — с \(n-3\) и так далее. Последний учитываемый город соединён с одним новым городом:

\[ (n-1)+(n-2)+\dots+2+1. \]

Это сумма первых \(n-1\) натуральных чисел. Используем формулу суммы арифметической прогрессии:

\[ 1+2+\dots+(n-1)=\frac{(1+n-1)(n-1)}{2}=\frac{n(n-1)}{2}. \]

Каждая пара городов учтена ровно один раз, поэтому это и есть общее число дорог.

Ответ: а) 15 дорог; б) 190 дорог; в) \(\frac{n(n-1)}{2}\) дорог.