1) В коробке 4 красных и 2 синих шарика. Из коробки подряд без возвращения вытаскивают два шарика. Постройте дерево вероятностей. Найдите вероятность события: а) оба шарика красные; б) один красный и один синий; в) оба шарика синие.

Краткое пояснение:

Дерево вероятностей:

Всего в коробке 4 + 2 = 6 шариков.

Первый шар:

• Вероятность вытащить красный шар (К1): \( P(K1) = \frac{4}{6} \)
• Вероятность вытащить синий шар (С1): \( P(C1) = \frac{2}{6} \)

Второй шар (при условии, что первый шар уже вытащен):

• Если первый шар был красный, в коробке осталось 3 красных и 2 синих (всего 5 шаров).
• Вероятность вытащить второй красный шар (К2|К1): \( P(K2|K1) = \frac{3}{5} \)
• Вероятность вытащить синий шар (С2|К1): \( P(C2|K1) = \frac{2}{5} \)
• Если первый шар был синий, в коробке осталось 4 красных и 1 синий (всего 5 шаров).
• Вероятность вытащить красный шар (К2|С1): \( P(K2|C1) = \frac{4}{5} \)
• Вероятность вытащить второй синий шар (С2|С1): \( P(C2|C1) = \frac{1}{5} \)

Расчет вероятностей событий:

1. а) Оба шарика красные (К1 и К2):
   Вероятность этого события равна произведению вероятности вытащить первый красный шар и вероятности вытащить второй красный шар при условии, что первый был красный.
   \( P(K1 ext{ и } K2) = P(K1) \times P(K2|K1) = \frac{4}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} \)
2. б) Один красный и один синий:
   Это событие может произойти двумя способами: первый красный, второй синий (К1 и С2) ИЛИ первый синий, второй красный (С1 и К2).
   
   • Вероятность (К1 и С2): \( P(K1 ext{ и } C2) = P(K1) \times P(C2|K1) = \frac{4}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{8}{30} \)
   • Вероятность (С1 и К2): \( P(C1 ext{ и } K2) = P(C1) \times P(K2|C1) = \frac{2}{6} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{30} \)

   Общая вероятность события «один красный и один синий» равна сумме этих вероятностей:
   \( P( ext{один красный и один синий}) = P(K1 ext{ и } C2) + P(C1 ext{ и } K2) = \frac{8}{30} + \frac{8}{30} = \frac{16}{30} = \frac{8}{15} \)

3. в) Оба шарика синие (С1 и С2):
   Вероятность этого события равна произведению вероятности вытащить первый синий шар и вероятности вытащить второй синий шар при условии, что первый был синий.
   \( P(C1 ext{ и } C2) = P(C1) \times P(C2|C1) = \frac{2}{6} \times \frac{1}{5} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \)

Проверка: Сумма вероятностей всех исходов должна быть равна 1.
\( \frac{12}{30} + \frac{16}{30} + \frac{2}{30} = \frac{30}{30} = 1 \)

Ответ:
а) Вероятность, что оба шарика красные: \( \frac{2}{5} \)
б) Вероятность, что один красный и один синий: \( \frac{8}{15} \)
в) Вероятность, что оба шарика синие: \( \frac{1}{15} \)