1.В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 3 чёрные, 6 жёлтых и 6 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси. 2.В каждой четвертой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Аля покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Аля не найдет приз в своей банке. 3. На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме «Параллелограмм», равна 0,45. Вероятность того, что это окажется задача по теме «Треугольники», равна 0,15. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем. 4. Стрелок 3 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что стрелок первый раз попал в мишени, а последние два раза промахнулся. 5.На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий А и В в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события AUB. 6. На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события В.

Задание 1. Вероятность прибытия жёлтого такси

Дано:

• Общее количество машин: 15.
• Количество жёлтых машин: 6.

Найти: Вероятность того, что к заказчику приедет жёлтое такси.

Решение:

Вероятность события вычисляется по формуле: \( P(A) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} \).

В данном случае, благоприятный исход — это прибытие жёлтого такси. Общее количество исходов — это общее количество машин.

Вычисляем:

\[ P(\text{жёлтое такси}) = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} = 0.4 \]

Ответ: 0.4

Задание 2. Вероятность не найти приз

Дано:

• Вероятность найти приз в одной банке кофе: \( P(\text{приз}) = \frac{1}{4} \).

Найти: Вероятность того, что Аля не найдет приз в своей банке.

Решение:

Событие «найти приз» и событие «не найти приз» являются противоположными. Сумма их вероятностей равна 1.

Следовательно, вероятность не найти приз равна:

\[ P(\text{не найти приз}) = 1 - P(\text{приз}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0.75 \]

Ответ: 0.75

Задание 3. Вероятность задачи по одной из тем

Дано:

• Вероятность задачи по теме «Параллелограмм»: \( P(\text{Параллелограмм}) = 0.45 \).
• Вероятность задачи по теме «Треугольники»: \( P(\text{Треугольники}) = 0.15 \).
• События взаимоисключающие (нет задач, относящихся к обеим темам одновременно).

Найти: Вероятность того, что школьнику достанется задача по одной из этих двух тем.

Решение:

Для взаимоисключающих событий вероятность того, что произойдет одно из них, равна сумме их вероятностей:

\[ P(\text{Параллелограмм или Треугольники}) = P(\text{Параллелограмм}) + P(\text{Треугольники}) \]

Вычисляем:

\[ P(\text{Параллелограмм или Треугольники}) = 0.45 + 0.15 = 0.60 \]

Ответ: 0.6

Задание 4. Вероятность попадания и двух промахов

Дано:

• Вероятность попадания при одном выстреле: \( P(\text{попадание}) = 0.6 \).
• Стрелок делает 3 выстрела.

Найти: Вероятность того, что стрелок первый раз попал в мишень, а последние два раза промахнулся.

Решение:

Вероятность промаха при одном выстреле равна:

\[ P(\text{промах}) = 1 - P(\text{попадание}) = 1 - 0.6 = 0.4 \]

Так как выстрелы независимы, вероятность последовательности событий равна произведению их вероятностей:

\[ P(\text{1-е попадание, 2-й промах, 3-й промах}) = P(\text{попадание}) \times P(\text{промах}) \times P(\text{промах}) \]

Вычисляем:

\[ 0.6 \times 0.4 \times 0.4 = 0.096 \]

Ответ: 0.096

Задание 5. Вероятность события A U B

Дано: Диаграмма Эйлера с вероятностями элементарных событий.

Найти: Вероятность события \( A \cup B \).

Решение:

Вероятность объединения событий \( A \cup B \) равна сумме вероятностей всех элементарных событий, которые входят хотя бы в одно из этих событий.

Из диаграммы видно, что элементарные события, входящие в \( A \cup B \), имеют следующие вероятности: 0.1, 0.2, 0.05, 0.1, 0.05, 0.1, 0.1.

Суммируем вероятности:

\[ P(A \cup B) = 0.1 + 0.2 + 0.05 + 0.1 + 0.05 + 0.1 + 0.1 = 0.7 \]

Ответ: 0.7

Задание 6. Вероятность события В

Дано: Дерево случайного опыта.

Найти: Вероятность события \( B \).

Решение:

Для того чтобы найти вероятность события \( B \), нужно рассмотреть все пути, ведущие к этому событию, и просуммировать их вероятности. Событие \( B \) может наступить в трех случаях, представленных на дереве:

1. S → A → B: вероятность \( 0.25 \times 0.4 = 0.1 \)
2. S → A → B: вероятность \( 0.25 \times 0.2 = 0.05 \)
3. S → A → B: вероятность \( 0.75 \times 0.8 = 0.6 \)

Суммируем вероятности всех путей, ведущих к В:

\[ P(B) = 0.1 + 0.05 + 0.6 = 0.75 \]

Ответ: 0.75