1. Уравнения Максвелла в интегральной форме. 2. Виды радиоактивного распада и закон радиоактивного распада. Что такое период полураспада? 3. Определите ток, идущий через сопротивление R3, если ε₁ = 5 B, ε₂ = 10 B, R₁ = 9 Ом, R₂ = 8 Ом, R₃ = 1 Ом, r₁ = 1 Ом, r₂ = 2 Ом.

1. Уравнения Максвелла в интегральной форме:

Интегральная форма уравнений Максвелла описывает электромагнитное поле и его взаимодействие с веществом в глобальном смысле, через потоки и циркуляции векторов поля через поверхности и контуры.

• Теорема Гаусса для электрического поля: Поток вектора напряженности электрического поля \( \vec{E} \) через любую замкнутую поверхность \( S \) пропорционален полному электрическому заряду \( Q_{вн} \), заключенному внутри этой поверхности: \[ \oint\limits_{S} \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{вн}}{\varepsilon_0} \]
• Теорема Гаусса для магнитного поля: Поток вектора магнитной индукции \( \vec{B} \) через любую замкнутую поверхность равен нулю. Это означает отсутствие магнитных зарядов (монополей): \[ \oint\limits_{S} \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0 \]
• Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея) в интегральной форме: Циркуляция вектора напряженности электрического поля \( \vec{E} \) по замкнутому контуру \( L \) равна скорости изменения магнитного потока \( \Phi_B \) через поверхность, ограниченную этим контуром: \[ \oint\nolimits_{L} \vec{E} d\vec{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt} \]
• Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля (обобщенный закон Ампера): Циркуляция вектора напряженности магнитного поля \( \vec{H} \) по замкнутому контуру \( L \) равна сумме полного тока \( I_{полн} \) (про проводимости и смещения), пронизывающего поверхность, ограниченную этим контуром: \[ \oint\nolimits_{L} \vec{H} d\vec{l} = I_{полн} \]

2. Виды радиоактивного распада и закон радиоактивного распада. Период полураспада:

• Виды радиоактивного распада:
• Альфа-распад: Ядро испускает альфа-частицу (ядро гелия \( ^{4}_{2}He \)). Массовое число уменьшается на 4, а зарядовое — на 2.
• Бета-распад:
• Бета-минус-распад: Нейтрон превращается в протон, испуская электрон (\( e^{-} \)) и антинейтрино. Массовое число остается прежним, зарядовое увеличивается на 1.
• Бета-плюс-распад: Протон превращается в нейтрон, испуская позитрон (\( e^{+} \)) и нейтрино. Массовое число остается прежним, зарядовое уменьшается на 1.
• Гамма-распад: Ядро испускает гамма-квант (высокоэнергетический фотон). Происходит при переходе ядра из возбужденного состояния в менее возбужденное или основное. Массовое и зарядовое числа не изменяются.
• Закон радиоактивного распада: Число радиоактивных ядер, распадающихся в единицу времени (скорость распада), пропорционально числу имеющихся в наличии радиоактивных ядер \( N \).
  Математически это выражается уравнением: \[ \frac{dN}{dt} = -\lambda N \]где \( \lambda \) — постоянная распада, характеризующая вероятность распада ядра в единицу времени.
• Период полураспада (T½): Время, в течение которого распадается половина исходного числа радиоактивных ядер. Он связан с постоянной распада \( \lambda \) соотношением: \[ T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda} \]

3. Определение тока через сопротивление R₃:

Данная схема представляет собой два источника ЭДС с внутренними сопротивлениями, подключенные к цепи из трех резисторов. Для решения задачи воспользуемся методом узловых напряжений или методом контурных токов.

Метод узловых напряжений:

Выберем нижний провод (общий) за нулевой потенциал.

Обозначим потенциалы верхних узлов как \( Φ_1 \) и \( Φ_2 \), а потенциал узла между \( R_3 \) и \( ε_2 \) как \( Φ_3 \).

По условию задачи, \( ε_1 \) и \( ε_2 \) — ЭДС. Примем, что положительные полюса источников направлены вверх.

Потенциалы в верхних точках цепи относительно общего провода:

\( Φ_A = ε_1 - I_1 r_1 \)

\( Φ_B = ε_2 - I_2 r_2 \)

Однако, для простоты, будем считать, что \( ε_1 \) и \( ε_2 \) — это напряжения на выводах источников, когда они подключены к цепи. Если они подключены так, как показано на схеме, то:

\( Φ_1 = ε_1 + I_1 r_1 \) (если \( r_1 \) последовательно с \( ε_1 \) и ток выходит из +)

\( Φ_2 = ε_2 + I_2 r_2 \) (если \( r_2 \) последовательно с \( ε_2 \) и ток выходит из +)

Переосмыслим схему:

Резисторы \( R_1, R_3, R_2 \) соединены параллельно.

Источники \( ε_1 \) и \( ε_2 \) с внутренними сопротивлениями \( r_1 \) и \( r_2 \) также подключены параллельно к этим резисторам.

Обозначим узел между \( R_1 \) и \( ε_1 \) как A, узел между \( R_3 \) и \( R_1 \) как B, узел между \( R_3 \) и \( R_2 \) как C, узел между \( R_2 \) и \( ε_2 \) как D. Нижний провод — общий (0 потенциал).

Схема упрощается: \( R_1, R_3, R_2 \) параллельно. \( ε_1 \) с \( r_1 \) и \( ε_2 \) с \( r_2 \) подключены параллельно к этой ветви.

Дано: \( ε_1 = 5 \text{ В}, ε_2 = 10 \text{ В}, R_1 = 9 \text{ Ом}, R_2 = 8 \text{ Ом}, R_3 = 1 \text{ Ом}, r_1 = 1 \text{ Ом}, r_2 = 2 \text{ Ом}. \)

Применим второй закон Кирхгофа для двух независимых контуров.

Контур 1 (левый): \( ε_1 - I_1 r_1 - I_3 R_3 - I_2 R_2 = 0 \) (Предполагаем, что \( I_1 \) течет из \( ε_1 \), \( I_2 \) из \( ε_2 \), \( I_3 \) — ток через \( R_3 \), при этом \( I_1 \) и \( I_2 \) могут быть направлены навстречу друг другу через \( R_3 \)).

Неправильное применение второго закона Кирхгофа. Переформулируем.

Схема: Три параллельных ветви, каждая из которых содержит резистор \( R_1, R_3, R_2 \). Эти ветви соединены между двумя узлами. К этим узлам подключены два источника \( ε_1 \) с \( r_1 \) и \( ε_2 \) с \( r_2 \).

Метод узловых напряжений:

Обозначим верхний узел (соединение \( R_1, R_3, R_2 \) и \( ε_1, ε_2 \)) как A, нижний узел (под \( r_1, r_2 \)) как B (земля, \( Φ_B = 0 \)).

Потенциал верхней точки \( ε_1 \) равен \( ε_1 \) (при условии, что \( r_1 \) подключен к нижнему узлу).

Потенциал верхней точки \( ε_2 \) равен \( ε_2 \).

Пусть \( Φ_A \) — потенциал верхнего узла, \( Φ_B=0 \) — потенциал нижнего узла.

Ток через \( R_1 \) = \( \frac{Φ_A - Φ_B}{R_1} = \frac{Φ_A}{R_1} \)

Ток через \( R_3 \) = \( \frac{Φ_A - Φ_B}{R_3} = \frac{Φ_A}{R_3} \)

Ток через \( R_2 \) = \( \frac{Φ_A - Φ_B}{R_2} = \frac{Φ_A}{R_2} \)

Ток, вытекающий из \( ε_1 \) (через \( r_1 \)): \( I_{ε1} = \frac{ε_1 - Φ_A}{r_1} \)

Ток, вытекающий из \( ε_2 \) (через \( r_2 \)): \( I_{ε2} = \frac{ε_2 - Φ_A}{r_2} \)

По первому закону Кирхгофа для узла A:

\( I_{ε1} + I_{ε2} = \frac{Φ_A}{R_1} + \frac{Φ_A}{R_3} + \frac{Φ_A}{R_2} \)

\( \frac{ε_1 - Φ_A}{r_1} + \frac{ε_2 - Φ_A}{r_2} = Φ_A (\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_2}) \)

Подставляем значения:

\( \frac{5 - Φ_A}{1} + \frac{10 - Φ_A}{2} = Φ_A (\frac{1}{9} + \frac{1}{1} + \frac{1}{8}) \)

\( 5 - Φ_A + 5 - \frac{Φ_A}{2} = Φ_A (\frac{8 + 72 + 9}{72}) \)

\( 10 - \frac{3}{2} Φ_A = Φ_A (\frac{89}{72}) \)

\( 10 = Φ_A (\frac{3}{2} + \frac{89}{72}) \)

\( 10 = Φ_A (\frac{3 \times 36}{72} + \frac{89}{72}) \)

\( 10 = Φ_A (\frac{108 + 89}{72}) \)

\( 10 = Φ_A (\frac{197}{72}) \)

\( Φ_A = \frac{10 \times 72}{197} = \frac{720}{197} \text{ В} \approx 3.655 \text{ В} \)

Ток через сопротивление \( R_3 \) равен:

\( I_3 = \frac{Φ_A}{R_3} = \frac{720/197}{1} = \frac{720}{197} \text{ А} \approx 3.655 \text{ А} \)

Ответ: Ток, идущий через сопротивление R₃, равен rfr720/197 А (приблизительно 3.655 А).