1. Упростить выражение: 2. Решить уравнение: 2x² + 3x-2=0. 3. Решить систему неравенств: { x-1<2+3x; 5x-7<x+9. } 4.Найти значение выражения: 6 (2√3)² 5. Упростить выражение и найти его значение: @ -3 , при а = 2 3 6. Найти решение неравенства 2-3x 4 6-5x 8 + 1 5 принадлежащие промежутку: [-5;0]. 7. Спортивная лодка прошла расстояние 45 км против течения реки и такое же расстояние по течению, затратив на весь путь 14 часов. Определите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

Задание 1. Упростить выражение

Решение:

К сожалению, исходное выражение для задания 1 не полностью видно на изображении. Пожалуйста, предоставьте полное условие.

Задание 2. Решить уравнение

Дано:

• Уравнение: \( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \)

Найти: корни уравнения.

Решение:

Это квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a=2 \), \( b=3 \), \( c=-2 \).

Найдем дискриминант по формуле: \( D = b^2 - 4ac \)

\[ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.

Найдем корни по формуле: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)

\[ x_1 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \]

\[ x_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 \]

Ответ: \( x_1 = -2, x_2 = 0.5 \).

Задание 3. Решить систему неравенств

Дано:

• Система неравенств:
• \( x - 1 < 2 + 3x \)
• \( 5x - 7 < x + 9 \)

Найти: решение системы неравенств.

Решение:

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

\[ x - 1 < 2 + 3x \]

Перенесем \( x \) в правую часть, а числа в левую:

\[ -1 - 2 < 3x - x \]

\[ -3 < 2x \]

Разделим обе части на 2:

\[ x > -1.5 \]

Второе неравенство:

\[ 5x - 7 < x + 9 \]

Перенесем \( x \) в левую часть, а числа в правую:

\[ 5x - x < 9 + 7 \]

\[ 4x < 16 \]

Разделим обе части на 4:

\[ x < 4 \]

Теперь объединим решения обоих неравенств:

\[ -1.5 < x < 4 \]

Ответ: \( (-1.5; 4) \).

Задание 4. Найти значение выражения

Дано:

• Выражение: \( \frac{6}{(2\sqrt{3})^2} \)

Найти: значение выражения.

Решение:

Сначала возведем в квадрат знаменатель:

\[ (2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12 \]

Теперь подставим это значение обратно в выражение:

\[ \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \]

Ответ: \( \frac{1}{2} \).

Задание 5. Упростить выражение и найти его значение

Дано:

• Выражение: \( \frac{a^{-6}}{a^{-3} \cdot a^{-2}} \)
• \( a = \frac{2}{3} \)

Найти: значение выражения.

Решение:

Сначала упростим знаменатель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием ( \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) ):

\[ a^{-3} \cdot a^{-2} = a^{-3 + (-2)} = a^{-5} \]

Теперь подставим это обратно в дробь:

\[ \frac{a^{-6}}{a^{-5}} \]

Используем правило деления степеней с одинаковым основанием ( \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) ):

\[ a^{-6 - (-5)} = a^{-6 + 5} = a^{-1} \]

Упрощенное выражение равно \( a^{-1} \), что то же самое, что \( \frac{1}{a} \).

Теперь подставим значение \( a = \frac{2}{3} \):

\[ \frac{1}{a} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \]

Ответ: \( \frac{3}{2} \).

Задание 6. Найти решение неравенства

Дано:

• Неравенство: \( \frac{2-3x}{4} \le \frac{6-5x}{8} + \frac{1}{5} \)
• Промежуток: \( [-5; 0] \)

Найти: решение неравенства, принадлежащее промежутку.

Решение:

Сначала приведем все к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4, 8 и 5 равен 40.

\[ \frac{10(2-3x)}{40} \le \frac{5(6-5x)}{40} + \frac{8(1)}{40} \]

Умножим обе части неравенства на 40 (так как 40 > 0, знак неравенства не меняется):

\[ 10(2-3x) \le 5(6-5x) + 8 \]

Раскроем скобки:

\[ 20 - 30x \le 30 - 25x + 8 \]

\[ 20 - 30x \le 38 - 25x \]

Перенесем члены с \( x \) в одну сторону, а числа в другую:

\[ -30x + 25x \le 38 - 20 \]

\[ -5x \le 18 \]

Разделим обе части на -5 и изменим знак неравенства, так как делим на отрицательное число:

\[ x \ge \frac{18}{-5} \]

\[ x \ge -3.6 \]

Теперь найдем пересечение этого решения с заданным промежутком \( [-5; 0] \).

Нам нужно найти такие \( x \), для которых одновременно \( x \ge -3.6 \) и \( -5 \le x \le 0 \).

Объединяя эти условия, получаем \( -3.6 \le x \le 0 \).

Ответ: \( [-3.6; 0] \).

Задание 7. Задача про лодку

Дано:

• Расстояние в одну сторону: \( S = 45 \) км.
• Общее время в пути: \( T_{общ} = 14 \) часов.
• Скорость течения реки: \( v_{теч} = 2 \) км/ч.

Найти: собственную скорость лодки \( v_{лод} \).

Решение:

Пусть \( v_{лод} \) — собственная скорость лодки.

Скорость лодки по течению: \( v_{по \; теч} = v_{лод} + v_{теч} = v_{лод} + 2 \) км/ч.

Скорость лодки против течения: \( v_{против \; теч} = v_{лод} - v_{теч} = v_{лод} - 2 \) км/ч.

Время, затраченное на путь по течению: \( t_{по \; теч} = \frac{S}{v_{по \; теч}} = \frac{45}{v_{лод} + 2} \) часов.

Время, затраченное на путь против течения: \( t_{против \; теч} = \frac{S}{v_{против \; теч}} = \frac{45}{v_{лод} - 2} \) часов.

Общее время в пути равно сумме времени движения по течению и против течения:

\[ t_{по \; теч} + t_{против \; теч} = T_{общ} \]

\[ \frac{45}{v_{лод} + 2} + \frac{45}{v_{лод} - 2} = 14 \]

Приведем к общему знаменателю \( (v_{лод} + 2)(v_{лод} - 2) = v_{лод}^2 - 4 \):

\[ \frac{45(v_{лод} - 2) + 45(v_{лод} + 2)}{(v_{лод} + 2)(v_{лод} - 2)} = 14 \]

\[ \frac{45v_{лод} - 90 + 45v_{лод} + 90}{v_{лод}^2 - 4} = 14 \]

\[ \frac{90v_{лод}}{v_{лод}^2 - 4} = 14 \]

Умножим обе части на \( v_{лод}^2 - 4 \):

\[ 90v_{лод} = 14(v_{лод}^2 - 4) \]

\[ 90v_{лод} = 14v_{лод}^2 - 56 \]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 14v_{лод}^2 - 90v_{лод} - 56 = 0 \]

Разделим все на 2 для упрощения:

\[ 7v_{лод}^2 - 45v_{лод} - 28 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = (-45)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-28) = 2025 + 784 = 2809 \]

Найдем \( \sqrt{D} \): \( \sqrt{2809} = 53 \).

Найдем корни \( v_{лод} \):

\[ v_{лод} = \frac{-(-45) \pm 53}{2 \cdot 7} = \frac{45 \pm 53}{14} \]

\[ v_{лод_1} = \frac{45 - 53}{14} = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7} \]

\[ v_{лод_2} = \frac{45 + 53}{14} = \frac{98}{14} = 7 \]

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.

Ответ: собственная скорость лодки составляет 7 км/ч.