1. Упрости выражение и найди его \(\frac{4x^2 - 4x + 1}{2x - 1}\) - \(\frac{25 - x^2}{5 + x}\)

Решение

Сначала упростим первую дробь:

\( \frac{4x^2 - 4x + 1}{2x - 1} \)

Числитель является полным квадратом разности: \( (2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(1) + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1 \).

Таким образом, первая дробь равна:

\( \frac{(2x - 1)^2}{2x - 1} = 2x - 1 \), при условии, что \( 2x - 1 \neq 0 \), то есть \( x \neq \frac{1}{2} \).

Теперь упростим вторую дробь. Числитель является разностью квадратов: \( 25 - x^2 = 5^2 - x^2 = (5 - x)(5 + x) \).

Вторая дробь равна:

\( \frac{(5 - x)(5 + x)}{5 + x} = 5 - x \), при условии, что \( 5 + x \neq 0 \), то есть \( x \neq -5 \).

Теперь вычтем вторую упрощенную дробь из первой:

\( (2x - 1) - (5 - x) \)

Раскроем скобки:

\( 2x - 1 - 5 + x \)

Приведем подобные слагаемые:

\( (2x + x) + (-1 - 5) = 3x - 6 \)

Ответ:

Упрощенное выражение равно $$3x - 6$$.