1. Укажите соответствующий вывод для каждого неравенства. Обоснуйте свой ответ. a) x² + 4x - 10 ≤ 0; b) -2x² + 10x - 25 ≤ 0; c) x² + 3x + 2 ≤ 0; d) x² - 4 > 0.

Решение:

Для определения соответствующего вывода к каждому неравенству, найдём его решения.

а) \( x^2 + 4x - 10 \le 0 \)

Найдём корни уравнения \( x^2 + 4x - 10 = 0 \):

\( D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 16 + 40 = 56 \)

\( x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{56}}{2} = -2 \pm \sqrt{14} \)

Так как ветви параболы \( y = x^2 + 4x - 10 \) направлены вверх, неравенство \( x^2 + 4x - 10 \le 0 \) выполняется на промежутке \( [-2 - \sqrt{14}; -2 + \sqrt{14}] \). Это закрытый промежуток.

б) \( -2x^2 + 10x - 25 \le 0 \)

Найдём дискриминант уравнения \( -2x^2 + 10x - 25 = 0 \):

\( D = 10^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-25) = 100 - 200 = -100 \)

Так как \( D < 0 \) и ветви параболы \( y = -2x^2 + 10x - 25 \) направлены вниз (коэффициент при \( x^2 \) отрицательный), то \( -2x^2 + 10x - 25 \) всегда меньше нуля. Неравенство выполняется для всех \( x \). Это вся числовая прямая.

в) \( x^2 + 3x + 2 \le 0 \)

Найдём корни уравнения \( x^2 + 3x + 2 = 0 \):

\( D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \)

\( x_{1,2} = \frac{-3 \pm 1}{2} \) \( x_1 = -1, x_2 = -2 \)

Так как ветви параболы \( y = x^2 + 3x + 2 \) направлены вверх, неравенство \( x^2 + 3x + 2 \le 0 \) выполняется на промежутке \( [-2; -1] \). Это закрытый промежуток.

г) \( x^2 - 4 > 0 \)

Найдём корни уравнения \( x^2 - 4 = 0 \):

\( x^2 = 4 \) \( x_{1,2} = \pm 2 \)

Так как ветви параболы \( y = x^2 - 4 \) направлены вверх, неравенство \( x^2 - 4 > 0 \) выполняется на промежутках \( (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) \). Это объединение двух промежутков.

Ответ: а) 4; б) 2; в) 4; г) 6.