1. UAC=150°, ∠CB = 140°, O – центр окружности (рис. 1). Тогда: a) UAB = 70°; ∠α = 70°; ∠B = 35°; б) UAB = 35°; ∠α = 35°; ∠B = 70°; в) UAB = 70°; ∠α = 35°; ∠B = 70°; г) UAB = 10°; ∠α = 20°; ∠B = 10°.

Решение:

Центральный угол равен дуге, на которую он опирается. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Дано: \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{AC} = 150^{\circ} \), \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{CB} = 140^{\circ} \), \( O \) — центр окружности.

Найдём \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{AB} \).

Полная окружность равна \( 360^{\circ} \). Следовательно, \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{AB} = 360^{\circ} - \buildrel{\LARGE\frown}\over{AC} - \buildrel{\LARGE\frown}\over{CB} = 360^{\circ} - 150^{\circ} - 140^{\circ} = 70^{\circ} \).

Центральный угол \( \angle AOB = \buildrel{\LARGE\frown}\over{AB} = 70^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle AOB \). \( OA = OB \) (радиусы), значит, \( \triangle AOB \) — равнобедренный.

Угол \( \angle OAB = \angle OBA = \frac{180^{\circ} - \angle AOB}{2} = \frac{180^{\circ} - 70^{\circ}}{2} = \frac{110^{\circ}}{2} = 55^{\circ} \).

Теперь рассмотрим варианты ответов:

• а) \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{AB} = 70^{\circ} \). \( \angle \alpha \) — это \( \angle AOC \). \( \angle AOC = \buildrel{\LARGE\frown}\over{AC} = 150^{\circ} \). \( \angle B = 35^{\circ} \) (вероятно, имеется в виду вписанный угол, опирающийся на дугу AC, \( \frac{150}{2}=75^{\circ} \) или угол при основании равнобедренного треугольника, что не соответствует \(55^{\circ}\)).
• б) \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{AB} = 35^{\circ} \). Неверно.
• в) \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{AB} = 70^{\circ} \). \( \angle \alpha = 35^{\circ} \). \( \angle B = 70^{\circ} \). \( \angle \alpha \) — это \( \angle AOC \). \( \angle AOC = 150^{\circ} \), значит \( \alpha \) не \(35^{\circ}\). \( \angle B \) — возможно, имеется в виду \( \angle ABC \). \( \angle ABC \) опирается на дугу \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{AC} = 150^{\circ} \), значит \( \angle ABC = \frac{150^{\circ}}{2} = 75^{\circ} \). \( \angle CBA \) — угол, опирающийся на дугу \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{AC} = 150^{\circ} \). \( \angle CBA = 150^{\circ}/2 = 75^{\circ} \).
• г) \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{AB} = 10^{\circ} \). Неверно.

Если \( \angle \alpha \) и \( \angle B \) — это углы равнобедренного \( \triangle AOB \), то \( \angle AOB = 70^{\circ} \). \( \angle OAB = \angle OBA = 55^{\circ} \). Тогда \( \alpha = 55^{\circ} \) и \( \beta = 55^{\circ} \).

Пересмотрим условие. Предположим, что \( \angle \alpha \) и \( \angle \beta \) — это углы при основании равнобедренного треугольника \( \triangle OAB \).

Если \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{AB} = 70^{\circ} \), то \( \angle AOB = 70^{\circ} \). Тогда \( \angle OAB = \angle OBA = \frac{180^{\circ} - 70^{\circ}}{2} = 55^{\circ} \).

Вариант (в): \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{AB} = 70^{\circ} \). \( \angle \alpha = 35^{\circ} \), \( \angle B = 70^{\circ} \).

Возможно, \( \angle \alpha \) и \( \angle \beta \) — это вписанные углы, опирающиеся на дуги.

Если \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{AC} = 150^{\circ} \) и \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{CB} = 140^{\circ} \), то \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{AB} = 360^{\circ} - 150^{\circ} - 140^{\circ} = 70^{\circ} \).

Если \( \angle \alpha \) — это вписанный угол, опирающийся на дугу \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{BC} \), то \( \angle \alpha = \frac{140^{\circ}}{2} = 70^{\circ} \).

Если \( \angle \beta \) — это вписанный угол, опирающийся на дугу \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{AC} \), то \( \angle \beta = \frac{150^{\circ}}{2} = 75^{\circ} \).

Если \( \angle \alpha \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{AB} \), то \( \angle \alpha = \frac{70^{\circ}}{2} = 35^{\circ} \).

Если \( \angle \beta \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{AC} \), то \( \angle \beta = \frac{150^{\circ}}{2} = 75^{\circ} \).

Если \( \angle \beta \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{AB} \), то \( \angle \beta = \frac{70^{\circ}}{2} = 35^{\circ} \).

Рассмотрим вариант (в): \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{AB} = 70^{\circ} \), \( \angle \alpha = 35^{\circ} \) (опирается на \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{BC} \) или \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{AB} \)?), \( \angle B = 70^{\circ} \).

Если \( \alpha \) — вписанный угол, опирающийся на \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{AB} \), то \( \alpha = 70^{\circ}/2 = 35^{\circ} \).

Если \( \angle B \) — это \( \angle ABC \), опирающийся на \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{AC} \), то \( \angle ABC = 150^{\circ}/2 = 75^{\circ} \).

Если \( \angle B \) — это \( \angle CAB \), опирающийся на \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{CB} \), то \( \angle CAB = 140^{\circ}/2 = 70^{\circ} \).

Таким образом, вариант (в) подходит, если \( \angle \alpha \) — вписанный угол, опирающийся на \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{AB} \), а \( \angle B \) — вписанный угол, опирающийся на \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{CB} \).

\( \buildrel{\LARGE\frown}\over{AB} = 70^{\circ} \).

\( \angle \alpha \) (вписанный, опирается на \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{AB} \)) \( = 70^{\circ}/2 = 35^{\circ} \).

\( \angle B \) (вписанный, опирается на \( \buildrel{\LARGE\frown}\over{CB} \)) \( = 140^{\circ}/2 = 70^{\circ} \).

Это соответствует варианту (в).

Ответ: в