1. Точка Р удалена на расстояние, равное 7, от центра окружности, радиус которой равен 11. Через точку Р проведена хорда, равная 18. Найдите отрезки, на которые делится хорда точкой Р. (* рис.)

Привет! Давай разберем эту задачу по геометрии шаг за шагом.

Дано:

• Расстояние от центра окружности до точки P: $$d = 7$$
• Радиус окружности: $$R = 11$$
• Длина хорды, проходящей через точку P: $$L = 18$$

Найти:

• Отрезки, на которые точка P делит хорду.

Решение:

1. Свойства хорды и точки: Хорда, проходящая через точку внутри окружности, делится этой точкой на два отрезка. Произведение длин этих отрезков постоянно и равно квадрату радиуса минус квадрат расстояния от центра до точки, то есть $$x · y = R^2 - d^2$$.
2. Расчет произведения отрезков: Подставим известные значения:
• $$x · y = 11^2 - 7^2$$
• $$x · y = 121 - 49$$
• $$x · y = 72$$
3. Связь отрезков с длиной хорды: Сумма длин двух отрезков равна общей длине хорды:
• $$x + y = L$$
• $$x + y = 18$$
4. Составление системы уравнений: Теперь у нас есть система из двух уравнений:
• $$x + y = 18$$
• $$x · y = 72$$
5. Решение системы: Мы можем решить эту систему. Из первого уравнения выразим $$y$$: $$y = 18 - x$$. Подставим это во второе уравнение:
• $$x · (18 - x) = 72$$
• $$18x - x^2 = 72$$
• $$x^2 - 18x + 72 = 0$$
6. Решение квадратного уравнения: Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета, ищем два числа, произведение которых равно 72, а сумма равна 18. Эти числа — 6 и 12.
• $$(x - 6)(x - 12) = 0$$
• $$x_1 = 6$$, $$x_2 = 12$$
7. Нахождение отрезков: Если $$x = 6$$, то $$y = 18 - 6 = 12$$. Если $$x = 12$$, то $$y = 18 - 12 = 6$$. Таким образом, отрезки, на которые делится хорда, равны 6 и 12.

Ответ: Отрезки хорды равны 6 и 12.