1. Тип 16 № 116 В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол ОАВ равен 70°. Найдите величину угла OCD.

Разбор задачи

Нам дана окружность с центром в точке O. Проведены два диаметра — AD и BC. Известно, что угол OAB равен 70°. Нужно найти величину угла OCD.

Давайте разберем, что нам известно и как это использовать:

1. Радиусы окружности: Все радиусы окружности равны. Значит, OA = OB = OC = OD.
2. Треугольник OAB: Треугольник OAB — равнобедренный, так как OA и OB — радиусы. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, угол OBA равен углу OAB.
3. Угол OAB = 70°, следовательно, OBA = 70°.
4. Угол AOC: Диаметры AD и BC пересекаются в точке O. Углы AOC и BOD являются вертикальными, поэтому они равны. Углы AOB и COD также являются вертикальными и равны.
5. Угол BOC: Углы AOB и BOC являются смежными, их сумма равна 180°.
6. Треугольник OCD: Треугольник OCD — равнобедренный, так как OC и OD — радиусы. Углы при основании равны, значит, угол OCD равен углу ODC.

Решение:

Шаг 1: Найдем угол AOB.

В треугольнике OAB сумма углов равна 180°. Мы знаем, что ∠OAB = 70° и ∠OBA = 70° (так как треугольник равнобедренный).

Следовательно, ∠AOB = 180° - (∠OAB + ∠OBA) = 180° - (70° + 70°) = 180° - 140° = 40°.

Шаг 2: Найдем угол COD.

Углы AOB и COD — вертикальные, значит, они равны.

Следовательно, ∠COD = ∠AOB = 40°.

Шаг 3: Найдем угол OCD.

В треугольнике OCD, OC = OD (это радиусы окружности). Значит, треугольник OCD — равнобедренный.

Сумма углов в треугольнике OCD равна 180°. Мы знаем, что ∠COD = 40°.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ∠OCD = ∠ODC.

Чтобы найти угол OCD, используем формулу: ∠OCD = (180° - ∠COD) / 2.

∠OCD = (180° - 40°) / 2 = 140° / 2 = 70°.

Ответ: Величина угла OCD равна 70°.