1. Тип 11 № 2055. Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 8 и 10. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит её пополам.

Пусть основание треугольника равно \(8+10=18\), а высота, проведённая к нему, равна \(h\). Площадь треугольника: \(S=\frac12\cdot18h=9h\).

Другая высота делит первую пополам, поэтому её основание можно рассматривать как сторону длины \(h\), а соответствующая высота равна \(\frac h2\). Тогда площадь также равна \(S=\frac12\cdot h\cdot\frac h2=\frac{h^2}{4}\).

Приравниваем площади: \(9h=\frac{h^2}{4}\). Так как \(h>0\), получаем \(h=36\).

Ответ: 36.