1. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°. 2. В трапеции углы при каждом основании равны. 3. Квадрат – это параллелограмм, у которого все углы прямые. 4. Вершины А и С ромба ABCD симметричны относительно прямой BD. 5. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные им отрезки. 6. Отрезок, соединяющий точки, лежащие на боковых сторонах трапеции, параллелен основаниям и равен их полусумме. 7. Параллелограмм, у которого все углы равны и все стороны равны, является квадратом. 8. Биссектриса одного из углов параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. 9. Площадь прямоугольной трапеции равна произведению ее средней линии на боковое ребро. 10. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. 11. Если в треугольниках ABC и A,B,C, высоты AH и A,H, равны, то SABC : SABC, = BC : BC 12. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов. 13. Если в ∆ABC стороны равны 5, 6, 7 см, то его площадь равна √18-(18-5)(18-6)(18–7) см². 14. Если в треугольниках ABC и A,B,C, ∠A = ∠A,, то SABC : SABC, = (AB · AC) : (A,B, · A,C,). 15. Медианы треугольника делят треугольник на шесть равновеликих треугольников.

Тест: Верно ли, что...

Давай разберем каждое утверждение по порядку:

1. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.

   Верно. Это фундаментальное свойство всех четырехугольников. Можно представить четырехугольник как два треугольника, а сумма углов в каждом треугольнике равна 180°. Так, 180° + 180° = 360°.

2. В трапеции углы при каждом основании равны.

   Неверно. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Но в обычной трапеции это не так. Например, углы при одном основании могут быть 60° и 120°, а при другом — 70° и 110°.

3. Квадрат – это параллелограмм, у которого все углы прямые.

   Неверно. Квадрат – это не только параллелограмм с прямыми углами, но и с равными сторонами. Параллелограмм с прямыми углами называется прямоугольником.

4. Вершины А и С ромба ABCD симметричны относительно прямой BD.

   Верно. В ромбе диагонали являются биссектрисами углов и перпендикулярны друг другу. Диагональ BD делит ромб на два равных треугольника, поэтому вершины А и С симметричны относительно этой диагонали.

5. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные им отрезки.

   Верно. Это свойство параллельных прямых, отсекающих равные отрезки на одной из секущих. Оно следует из теоремы Фалеса.

6. Отрезок, соединяющий точки, лежащие на боковых сторонах трапеции, параллелен основаниям и равен их полусумме.

   Неверно. Такой отрезок называется средней линией трапеции. Она действительно параллельна основаниям, но равна их полусумме, то есть \( \frac{a+b}{2} \), а не просто полусумме.

7. Параллелограмм, у которого все углы равны и все стороны равны, является квадратом.

   Верно. Если все углы равны, то они прямые (360°/4 = 90°), что делает его прямоугольником. Если при этом и стороны равны, то это квадрат.

8. Биссектриса одного из углов параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

   Верно. Биссектриса делит угол пополам. Так как противолежащие углы параллелограмма равны, а прилежащие в сумме дают 180°, то биссектриса будет образовывать с боковой стороной и диагональю равные углы, делая отсеченный треугольник равнобедренным.

9. Площадь прямоугольной трапеции равна произведению ее средней линии на боковое ребро.

   Неверно. Площадь любой трапеции (в том числе и прямоугольной) равна произведению ее средней линии на высоту. В прямоугольной трапеции высота равна одной из боковых сторон (той, что перпендикулярна основаниям).

10. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

    Неверно. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \). Формула с синусом угла относится к площади произвольного четырехугольника: \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \text{sin}(\theta) \).

11. Если в треугольниках ABC и A,B,C, высоты AH и A,H, равны, то SABC : SABC, = BC : BC

    Верно. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: \( S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \). Если высоты равны \( h \), то \( S_{ABC} = \frac{1}{2} BC \times h \) и \( S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} B_1C_1 \times h \). Тогда отношение площадей будет \( \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{\frac{1}{2} BC \times h}{\frac{1}{2} B_1C_1 \times h} = \frac{BC}{B_1C_1} \).

12. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов.

    Неверно. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \( S = \frac{1}{2} a b \), где a и b – катеты.

13. Если в ∆ABC стороны равны 5, 6, 7 см, то его площадь равна √18-(18-5)(18-6)(18–7) см².

    Верно. Это формула Герона. Полупериметр \( p = \frac{5+6+7}{2} = \frac{18}{2} = 9 \). Тогда площадь \( S = \text{√}p(p-a)(p-b)(p-c) = \text{√}9(9-5)(9-6)(9-7) = \text{√}9 \times 4 \times 3 \times 2 = \text{√}216 \). Условие содержит небольшую неточность, где \( 18 \) вместо \( 9 \) (полупериметра), но если заменить \( 18 \) на \( 9 \), то формула верна.

14. Если в треугольниках ABC и A,B,C, ∠A = ∠A,, то SABC : SABC, = (AB · AC) : (A,B, · A,C,).

    Верно. Площадь треугольника, если известны две стороны и угол между ними, равна \( S = \frac{1}{2}ab\text{sin}C \). Если \( \text{∠}A = \text{∠}A_1 \), то \( S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \times AC \times \text{sin}A \) и \( S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} A_1B_1 \times A_1C_1 \times \text{sin}A_1 \). Так как \( \text{sin}A = \text{sin}A_1 \), то отношение площадей равно отношению произведений сторон: \( \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{\frac{1}{2} AB \times AC \times \text{sin}A}{\frac{1}{2} A_1B_1 \times A_1C_1 \times \text{sin}A_1} = \frac{AB \times AC}{A_1B_1 \times A_1C_1} \).

15. Медианы треугольника делят треугольник на шесть равновеликих треугольников.

    Верно. Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре тяжести) и делят треугольник на 6 треугольников с равными площадями.