1. Стрелок бросает по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно три мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно две мишени»?

Решение:

Это задача на биномиальное распределение. Формула Бернулли для вероятности k успехов в n испытаниях: \( P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \), где \( p \) — вероятность успеха, \( q \) — вероятность неудачи, \( n \) — число испытаний, \( k \) — число успехов, \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — число сочетаний.

В данной задаче:

• \( n = 5 \) (пять выстрелов)
• \( p = 0.6 \) (вероятность поразить мишень)
• \( q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4 \) (вероятность промаха)

Найдем вероятность того, что стрелок поразит ровно три мишени (k=3):

\[ P(X=3) = C_5^3 \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^{5-3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^2 \]

\[ C_5^3 = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]

\[ P(X=3) = 10 \cdot (0.216) \cdot (0.16) = 10 \cdot 0.03456 = 0.3456 \]

Найдем вероятность того, что стрелок поразит ровно две мишени (k=2):

\[ P(X=2) = C_5^2 \cdot (0.6)^2 \cdot (0.4)^{5-2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} \cdot (0.6)^2 \cdot (0.4)^3 \]

\[ C_5^2 = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]

\[ P(X=2) = 10 \cdot (0.36) \cdot (0.064) = 10 \cdot 0.02304 = 0.2304 \]

Теперь найдем, во сколько раз вероятность поразить ровно три мишени больше вероятности поразить ровно две мишени:

\[ \frac{P(X=3)}{P(X=2)} = \frac{0.3456}{0.2304} = 1.5 \]

Ответ: вероятность события «стрелок поразит ровно три мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно две мишени» в 1.5 раза.