1. Сократите дробь: a) \(\frac{14a^3b^5}{21a^4b^3}\) б) \(\frac{x^2+x}{x^2}\) в) \(\frac{a+2b}{a^2-4b^2}\)

Привет! Давай разберёмся с этими дробями. Задача — сократить их, то есть упростить. Поехали!

а) Сокращаем дробь:

• У нас есть дробь: \[ \frac{14a^3b^5}{21a^4b^3} \]
• Сначала смотрим на числа: 14 и 21. Их общий делитель — 7. Значит, 14/7 = 2, а 21/7 = 3.
• Теперь смотрим на буквы 'a'. В числителе у нас $$a^3$$, а в знаменателе $$a^4$$. Мы можем сократить $$a^3$$ (то есть три 'a') и у нас останется одна 'a' в знаменателе ($$a^4 / a^3 = a^{4-3} = a^1 = a$$).
• Дальше буквы 'b'. В числителе $$b^5$$, а в знаменателе $$b^3$$. Сокращаем $$b^3$$, и у нас останется $$b^2$$ в числителе ($$b^5 / b^3 = b^{5-3} = b^2$$).
• Собираем всё вместе: \( \frac{2b^2}{3a} \)

б) Сокращаем дробь:

• Дробь такая: \[ \frac{x^2+x}{x^2} \]
• Сначала вынесем общий множитель 'x' в числителе: $$x^2+x = x(x+1)$$.
• Теперь дробь выглядит так: \( \frac{x(x+1)}{x^2} \)
• Сокращаем одну 'x' из числителя и одну 'x' из знаменателя: \( \frac{x+1}{x} \)

в) Сокращаем дробь:

• Вот наша дробь: \[ \frac{a+2b}{a^2-4b^2} \]
• Замечаем, что знаменатель — это разность квадратов. Вспоминаем формулу: $$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$$.
• Применяем её к нашему знаменателю: $$a^2 - (2b)^2 = (a - 2b)(a + 2b)$$.
• Теперь дробь выглядит так: \( \frac{a+2b}{(a-2b)(a+2b)} \)
• Мы видим, что \((a+2b)\) есть и в числителе, и в знаменателе. Мы можем их сократить!
• Остаётся: \( \frac{1}{a-2b} \)

Ответ:

• а) \( \frac{2b^2}{3a} \)
• б) \( \frac{x+1}{x} \)
• в) \( \frac{1}{a-2b} \)