1. Симметрии в многогранниках. 2. Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб со стороной а и острым углом 30°. Диагональ одной боковой грани перпендикулярна плоскости основания, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите объем параллелепипеда. 3. Построить график функции y = 2x² + 3x - 2

1. Симметрии в многогранниках

Многогранники могут обладать различными видами симметрии:

• Осевая симметрия: Существует ось, вращение вокруг которой на определенный угол переводит многогранник в себя.
• Плоскостная симметрия: Существует плоскость, отражение в которой переводит многогранник в себя.
• Центральная симметрия: Существует центр, относительно которого каждый элемент многогранника имеет симметричный элемент.

2. Объем наклонного параллелепипеда

Дано:

• Основание — ромб со стороной \( a \) и углом \( 30^{\circ} \).
• Диагональ боковой грани перпендикулярна основанию.
• Боковое ребро образует с основанием угол \( 60^{\circ} \).

Найти: Объем параллелепипеда.

Решение:

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: \( V = S_{осн} \cdot h \).

1. Площадь основания (S_осн): Площадь ромба вычисляется по формуле \( S_{осн} = a^2 · \sin(\alpha) \), где \( \alpha \) — угол ромба.
2. \( S_{осн} = a^2 \cdot \sin(30^{\circ}) = a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2} \).
3. Высота (h): Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, его проекцией на основание (которая равна стороне ромба \( a \)) и высотой. Угол между боковым ребром и основанием равен \( 60^{\circ} \).
4. Высота \( h \) является катетом, противолежащим углу \( 60^{\circ} \). Следовательно, \( h = a \cdot \sin(60^{\circ}) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).
5. Объем (V):
6. \( V = S_{осн} \cdot h = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^3\sqrt{3}}{4} \).

Ответ: Объем параллелепипеда равен \( \frac{a^3\sqrt{3}}{4} \).

3. График функции y = 2x² + 3x - 2

Для построения графика квадратичной функции \( y = 2x^2 + 3x - 2 \) найдем:

• Коэффициенты: \( a = 2 \), \( b = 3 \), \( c = -2 \).
• Направление ветвей: Так как \( a > 0 \) ( \( 2 > 0 \)), ветви параболы направлены вверх.
• Вершина параболы:
• Координата \( x_в \) находится по формуле \( x_в = -\frac{b}{2a} \).
• \( x_в = -\frac{3}{2 \cdot 2} = -\frac{3}{4} = -0.75 \).
• Координата \( y_в \) находится подстановкой \( x_в \) в уравнение функции:
• \( y_в = 2\left(-\frac{3}{4}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{4}\right) - 2 = 2\left(\frac{9}{16}\right) - \frac{9}{4} - 2 = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} - \frac{16}{8} = \frac{9 - 18 - 16}{8} = \frac{-25}{8} = -3.125 \).
• Вершина параболы находится в точке \( (-0.75, -3.125) \).
• Точки пересечения с осью Ox (нули функции):
• Решим уравнение \( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \).
• Дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \).
• \( \sqrt{D} = 5 \).
• \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5 \).
• \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2 \).
• Точки пересечения с осью Ox: \( (0.5, 0) \) и \( (-2, 0) \).
• Точка пересечения с осью Oy:
• При \( x = 0 \): \( y = 2(0)^2 + 3(0) - 2 = -2 \).
• Точка пересечения с осью Oy: \( (0, -2) \).

Ответ: График функции \( y = 2x^2 + 3x - 2 \) — парабола с ветвями вверх, вершиной в точке \( (-0.75, -3.125) \), пересекающая ось Ox в точках \( (-2, 0) \) и \( (0.5, 0) \), и ось Oy в точке \( (0, -2) \).